Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

22
ЛЕКЦИЯ 6. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА
ПЛОСКИХ КРИВЫХ.
6.1. Семейства плоских кривых.
Определение. Говорят, что на плоскости задано k -параметрическое
семейство кривых, если в их уравнение входит k независимых пара-
метров.
В неявной форме уравнение семейства записывается в виде
F (x, y, a
1
, . . . , a
k
) = 0.
Будем предполагать, что зависимость функции от параметров гладкая, а
сами параметры изменяются в некоторой области допустимых значений.
При этом каждому фиксированному набору параметров соответствует
определенная кривая этого семейства. Поясним сказанное на примерах.
Примеры.
1) Множество всех прямых на плоскости y = kx + b зависит от двух
параметров, принимающих произвольные значения. В частности, мно-
жество прямых y = kx образует пучок с центром в начале координат.
2) Множество всех окружностей (x −a)
2
+ (y −b)
2
= c
2
зависит от трех
параметров, а множество окружностей (x − a)
2
+ y
2
= 1 единичного
радиуса с центрами на оси X от одного. Множество концентрических
окружностей x
2
+ y
2
= a
2
зависит также от одного параметра.
6.2. Огибающая 1-параметрического семейства.
В дальнейшем мы будем рассматривать только 1-параметрические се-
мейства
F (x, y, a) = 0, (31)
где каждому значению параметра a ∈ I соответствует кривая, возможно
с особыми точками.
Определение. Огибающей 1-параметрического семейства {Γ(a)} плос-
ких кривых называется кривая, которая в каждой своей точке касает-
ся некоторой кривой этого семейства.
Точка касания кривой семейства с огибающей называется характери-
стической точкой
. Огибающая существует не всегда. Обратимся к при-
веденным выше примерам. В случае пучка прямых существует лишь
одна характеристическая точка, не образующая кривой. У семейства
22

       ЛЕКЦИЯ 6. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА
                   ПЛОСКИХ КРИВЫХ.


     6.1. Семейства плоских кривых.

  Определение. Говорят, что на плоскости задано k -параметрическое
семейство кривых, если в их уравнение входит k независимых пара-
метров.
  В неявной форме уравнение семейства записывается в виде
                        F (x, y, a1 , . . . , ak ) = 0.
Будем предполагать, что зависимость функции от параметров гладкая, а
сами параметры изменяются в некоторой области допустимых значений.
При этом каждому фиксированному набору параметров соответствует
определенная кривая этого семейства. Поясним сказанное на примерах.
  Примеры.
1) Множество всех прямых на плоскости y = kx + b зависит от двух
параметров, принимающих произвольные значения. В частности, мно-
жество прямых y = kx образует пучок с центром в начале координат.
2) Множество всех окружностей (x − a)2 + (y − b)2 = c2 зависит от трех
параметров, а множество окружностей (x − a)2 + y 2 = 1 единичного
радиуса с центрами на оси X от одного. Множество концентрических
окружностей x2 + y 2 = a2 зависит также от одного параметра.

     6.2. Огибающая 1-параметрического семейства.

 В дальнейшем мы будем рассматривать только 1-параметрические се-
мейства
                             F (x, y, a) = 0,                     (31)
где каждому значению параметра a ∈ I соответствует кривая, возможно
с особыми точками.
  Определение. Огибающей 1-параметрического семейства {Γ(a)} плос-
ких кривых называется кривая, которая в каждой своей точке касает-
ся некоторой кривой этого семейства.
  Точка касания кривой семейства с огибающей называется характери-
стической точкой. Огибающая существует не всегда. Обратимся к при-
веденным выше примерам. В случае пучка прямых существует лишь
одна характеристическая точка, не образующая кривой. У семейства

Страницы