Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

20
Тогда получим k = |[r
0
, r
00
]||
˙
t|
3
. Но |
˙
t| =
1
|r
0
|
и, следовательно,
k =
|[r
0
, r
00
]|
|r
0
|
3
. (27)
В координатах это дает формулу
k(t) =
|x
0
y
00
− y
0
x
00
|
(x
02
+ y
02
)
3/2
. (28)
В случае, когда кривая задана приведенным уравнением y = f(x) , в
качестве параметра выберем x . Тогда получим x
0
= 1, x
00
= 0 и, следо-
вательно,
k(x) =
|y
00
x
|
(1 + y
0
x
2
)
3/2
. (29)
Пример. Рассмотрим параболу y = x
2
. Для вычисления ее кривизны
применим формулу (29). Имеем y
0
x
= 2x , y
00
x
= 2 и тогда
k(x) =
2
(1 + 4x
2
)
3/2
.
Обратим внимание на то, что максимальное значение кривизна параболы
достигает при x = 0 , т. е. в ее вершине.
5.3. Геометрический смысл кривизны. Эволюта.
Чтобы выяснить геометрический смысл кривизны, отнесем кривую к
натуральному параметру. Рассмотрим вращение единичного касательно-
го вектора при движении точки по кривой. Отложим для наглядности
касательные векторы e(s) от начала координат. Тогда e(s) будет описы-
вать дугу окружности S единичного радиуса. Заметим, что s является
натуральным параметром заданной кривой, но не окружности. Рассмот-
рим изменение параметра от значения s к значению s + h и обозначим
через ϕ соответствующий угол поворота. Тогда этот угол является неко-
торой функцией дуги кривой.
Теорема 11. Кривизна кривой Γ есть модуль скорости поворота ее
касательного вектора по отношению к дуге, на которой этот поворот
происходит.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим вектор
∆e = e(s + h) − e(s) =
˙
e(s)h + O
1
(s, h).
Он направлен по хорде окружности
S
, а его длина с точностью до малых
первого порядка равна модулю угла ϕ , измеренному в радианах: |∆e| =
|ϕ| + ε . С другой стороны, |∆e| = |
˙
e(s)||h| + O
2
(s, h) , где O
2
имеет
20

                                                    1
Тогда получим k = |[r0 , r00 ]||ṫ|3 . Но |ṫ| =   |r0 |   и, следовательно,
                                     |[r0 , r00 ]|
                               k=                  .              (27)
                                       |r0 |3
В координатах это дает формулу
                                   |x0 y 00 − y 0 x00 |
                           k(t) = 02                     .        (28)
                                   (x + y 02 )3/2
В случае, когда кривая задана приведенным уравнением y = f (x) , в
качестве параметра выберем x . Тогда получим x0 = 1, x00 = 0 и, следо-
вательно,
                                           |yx00 |
                            k(x) =                      .         (29)
                                    (1 + yx0 2 )3/2
  Пример. Рассмотрим параболу y = x2 . Для вычисления ее кривизны
применим формулу (29). Имеем yx0 = 2x , yx00 = 2 и тогда
                                             2
                           k(x) =                       .
                                    (1 + 4x2 )3/2
Обратим внимание на то, что максимальное значение кривизна параболы
достигает при x = 0 , т. е. в ее вершине.

     5.3. Геометрический смысл кривизны. Эволюта.

  Чтобы выяснить геометрический смысл кривизны, отнесем кривую к
натуральному параметру. Рассмотрим вращение единичного касательно-
го вектора при движении точки по кривой. Отложим для наглядности
касательные векторы e(s) от начала координат. Тогда e(s) будет описы-
вать дугу окружности S единичного радиуса. Заметим, что s является
натуральным параметром заданной кривой, но не окружности. Рассмот-
рим изменение параметра от значения s к значению s + h и обозначим
через ϕ соответствующий угол поворота. Тогда этот угол является неко-
торой функцией дуги кривой.
Теорема 11. Кривизна кривой Γ есть модуль скорости поворота ее
касательного вектора по отношению к дуге, на которой этот поворот
происходит.
     Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим вектор
                   ∆e = e(s + h) − e(s) = ė(s)h + O1 (s, h).
Он направлен по хорде окружности S , а его длина с точностью до малых
первого порядка равна модулю угла ϕ , измеренному в радианах: |∆e| =
|ϕ| + ε . С другой стороны, |∆e| = |ė(s)||h| + O2 (s, h) , где O2 имеет

Страницы