Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

18
ЛЕКЦИЯ 5. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ.
5.1. Сопровождающий репер кривой.
Оказывается, в каждой точке регулярно параметризованной кривой
можно построить подвижный, меняющийся от точки к точке, ортонорми-
рованный репер. Тогда его движение показывает, как локально устроена
кривая в окрестности каждой своей точки.
Для начала мы предположим, что кривая отнесена к натуральному па-
раметру: r = r(s) . Обозначая производные по этому параметру точкой,
рассмотрим единичный касательный вектор
˙
r(s) = e , направленный в
сторону возрастания параметра. Дополним его до ортонормированного
репера единичным вектором n нормали. Как найти этот вектор? Для
этого рассмотрим вектор второй производной
¨
r . Он называется векто-
ром кривизны. Так как вектор
˙
r единичный, то вектор
¨
r ему ортого-
нален и нам осталось только его пронормировать. Итак, мы построили
ортонормированный репер
e =
˙
r, n =
¨
r
|
¨
r|
, (23)
который называется сопровождающим репером плоской кривой.
Как найти векторы сопровождающего репера, если параметризация
кривой произвольная? Проще всего найти единичный касательный век-
тор e =
r
0
|r
0
|
. Он имеет координаты
e =
(x
0
, y
0
)
p
x
02
+ y
02
и направлен в сторону возрастания параметра.
Рассмотрим теперь вектор второй производной r
00
. Вообще говоря, он
не ортогонален касательной и, более того, может оказаться, что в некото-
рых точках векторы r
0
и r
00
линейно зависимы. Мы предположим, что
[r
0
, r
00
] 6= 0 . При этом условии кривая называется бирегулярной. Что-
бы получить вектор нормали, надо взять касательный вектор и приме-
нить к нему оператор поворота. С точностью до знака ε = ±1 получим
N = ε(−y
0
, x
0
) и тогда
n =
ε(−y
0
, x
0
)
p
x
02
+ y
02
. (24)
Какой выбрать знак? Для этого заметим, что, как видно из формулы
r
0
(t + h) − r
0
(t) = r
00
(t)|h| + O(t, h) , вектор r
00
всегда направлен в сто-
рону вогнутости кривой. В ту же сторону направим и вектор нормали.
18

           ЛЕКЦИЯ 5. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ.

     5.1. Сопровождающий репер кривой.

  Оказывается, в каждой точке регулярно параметризованной кривой
можно построить подвижный, меняющийся от точки к точке, ортонорми-
рованный репер. Тогда его движение показывает, как локально устроена
кривая в окрестности каждой своей точки.
  Для начала мы предположим, что кривая отнесена к натуральному па-
раметру: r = r(s) . Обозначая производные по этому параметру точкой,
рассмотрим единичный касательный вектор ṙ(s) = e , направленный в
сторону возрастания параметра. Дополним его до ортонормированного
репера единичным вектором n нормали. Как найти этот вектор? Для
этого рассмотрим вектор второй производной r̈ . Он называется векто-
ром кривизны. Так как вектор ṙ единичный, то вектор r̈ ему ортого-
нален и нам осталось только его пронормировать. Итак, мы построили
ортонормированный репер
                                              r̈
                              e = ṙ,   n=        ,                       (23)
                                             |r̈|
который называется сопровождающим репером плоской кривой.
  Как найти векторы сопровождающего репера, если параметризация
кривой произвольная? Проще всего найти единичный касательный век-
           0
тор e = |rr0 | . Он имеет координаты
                                          (x0 , y 0 )
                                   e= p
                                           x02 + y 02
и направлен в сторону возрастания параметра.
   Рассмотрим теперь вектор второй производной r00 . Вообще говоря, он
не ортогонален касательной и, более того, может оказаться, что в некото-
рых точках векторы r0 и r00 линейно зависимы. Мы предположим, что
[r0 , r00 ] 6= 0 . При этом условии кривая называется бирегулярной. Что-
бы получить вектор нормали, надо взять касательный вектор и приме-
нить к нему оператор поворота. С точностью до знака ε = ±1 получим
N = ε(−y 0 , x0 ) и тогда
                                        ε(−y 0 , x0 )
                                  n=   p              .                    (24)
                                          x02 + y 02
Какой выбрать знак? Для этого заметим, что, как видно из формулы
r0 (t + h) − r0 (t) = r00 (t)|h| + O(t, h) , вектор r00 всегда направлен в сто-
рону вогнутости кривой. В ту же сторону направим и вектор нормали.

Страницы