ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
19
При этом условии скалярное произведение (N, r
00
) > 0 или в коорди-
натах ε(x
0
y
00
− y
0
x
00
) > 0 и, значит, ε = sgn(x
0
y
00
− y
0
x
00
) . Тем самым
сопровождающий репер однозначно определен.
Задача. Для какой кривой во всех ее точках векторы r
0
и r
00
линейно
зависимы?
5.2. Формулы Френе и кривизна плоской кривой.
Посмотрим, как изменяется сопровождающий репер от точки к точке.
Для этого отнесем кривую к натуральному параметру и наряду с точкой
r(s) рассмотрим точку r(s + h) в ее окрестности. Тогда
e(s + h) = e(s) +
˙
e(s)h + 0
02
(s, h), n(s + h) = n(s) +
˙
n(s)h + 0
002
(s, h),
где 0
2
(s, h) — векторы второго порядка малости относительно h . От-
сюда видно, что изменение сопровождающего репера в главной своей
части зависит от первых производных векторов этого репера. При этом
˙
e =
¨
r есть вектор кривизны, направленный, как мы видели, по нормали.
Поэтому
˙
e = k(s)n , где скалярная функция k(s) = |
¨
r| ≥ 0 называ-
ется кривизной, а обратная ей величина R =
1
k
— радиусом кривизны.
Что касается производной вектора n , то она ортогональна ему и поэто-
му направлена по касательной. Следовательно,
˙
n = λe . Чтобы найти
этот множитель, продифференцируем тождество (e, n) ≡ 0 . Получим
kn
2
+ λe
2
≡ 0 , откуда λ = −k . В итоге приходим к следующим соотно-
шениям
de
ds
= kn,
dn
ds
= −ke. (25)
Они называются уравнениями Френе. Таким образом, мы пришли к сле-
дующему выводу
Теорема 10. Движение сопровождающего репера вдоль регулярно па-
раметризованной плоской кривой определяется уравнениями Френе и
зависит только от ее кривизны.
Как вычислить кривизну? Если кривая задана в натуральной парамет-
ризации, то, как уже мы видели, k = |
¨
r|. Рассмотрим теперь случай, ко-
гда кривая отнесена к произвольному параметру: r = r(t) . Заметим, что
|
¨
r| = |[
˙
r,
¨
r]| и, следовательно, кривизну можно выразить так k = |[
˙
r,
¨
r]|.
Выразим входящие сюда производные по s через производные по про-
извольному параметру
˙
r = r
0
˙
t,
¨
r = r
00
(
˙
t)
2
+ r
0
¨
t . (26)
19
При этом условии скалярное произведение (N, r00 ) > 0 или в коорди-
натах ε(x0 y 00 − y 0 x00 ) > 0 и, значит, ε = sgn(x0 y 00 − y 0 x00 ) . Тем самым
сопровождающий репер однозначно определен.
Задача. Для какой кривой во всех ее точках векторы r0 и r00 линейно
зависимы?
5.2. Формулы Френе и кривизна плоской кривой.
Посмотрим, как изменяется сопровождающий репер от точки к точке.
Для этого отнесем кривую к натуральному параметру и наряду с точкой
r(s) рассмотрим точку r(s + h) в ее окрестности. Тогда
e(s + h) = e(s) + ė(s)h + 002 (s, h), n(s + h) = n(s) + ṅ(s)h + 0002 (s, h),
где 02 (s, h) — векторы второго порядка малости относительно h . От-
сюда видно, что изменение сопровождающего репера в главной своей
части зависит от первых производных векторов этого репера. При этом
ė = r̈ есть вектор кривизны, направленный, как мы видели, по нормали.
Поэтому ė = k(s)n , где скалярная функция k(s) = |r̈| ≥ 0 называ-
ется кривизной, а обратная ей величина R = k1 — радиусом кривизны.
Что касается производной вектора n , то она ортогональна ему и поэто-
му направлена по касательной. Следовательно, ṅ = λe . Чтобы найти
этот множитель, продифференцируем тождество (e, n) ≡ 0 . Получим
kn2 + λe2 ≡ 0 , откуда λ = −k . В итоге приходим к следующим соотно-
шениям
de dn
= kn, = −ke. (25)
ds ds
Они называются уравнениями Френе. Таким образом, мы пришли к сле-
дующему выводу
Теорема 10. Движение сопровождающего репера вдоль регулярно па-
раметризованной плоской кривой определяется уравнениями Френе и
зависит только от ее кривизны.
Как вычислить кривизну? Если кривая задана в натуральной парамет-
ризации, то, как уже мы видели, k = |r̈| . Рассмотрим теперь случай, ко-
гда кривая отнесена к произвольному параметру: r = r(t) . Заметим, что
|r̈| = |[ṙ, r̈]| и, следовательно, кривизну можно выразить так k = |[ṙ, r̈]| .
Выразим входящие сюда производные по s через производные по про-
извольному параметру
ṙ = r0 ṫ, r̈ = r00 (ṫ)2 + r0 ẗ . (26)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- …
- следующая ›
- последняя »
