Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

21
второй порядок малости по отношению к h . Но в силу первой формулы
Френе |
˙
e| = k(s) и поэтому |∆e| = k(s)|h| + O
2
(s, h) . Таким образом,
имеем k(s)|h| = |ϕ|+ O
2
(s, h) , откуда, рассматривая предел при h → 0 ,
получим
k(s) = lim
h→0
¯
¯
¯
ϕ
h
¯
¯
¯
,
что доказывает утверждение. ¤
Для того, чтобы наглядно представить изменение кривизны вдоль кри-
вой, рассмотрим множество Γ
1
центров кривизны кривой. Так назы-
ваются точки на ее нормалях со стороны вогнутости, расстояние кото-
рых до соответствующей точки кривой равно радиусу кривизны R . В
результате получим, некоторую кривую, которая называется эволютой
заданной кривой. Из определения следует параметрическое уравнение
эволюты
r
1
= r(t) + R(t)n(t).
Учитывая формулы (24) и (28), запишем это уравнение в координатах
x
1
(t) = x(t) −
y
0
(x
02
+ y
02
)
x
0
y
00
− y
0
x
00
, y
1
(t) = y(t) +
x
0
(x
02
+ y
02
)
x
0
y
00
− y
0
x
00
. (30)
Пример. Рассмотрим параболу y = x
2
с параметризацией r = (x, x
2
) .
Ее кривизну мы уже подсчитали выше. Радиус кривизны равен R =
(1+4x
2
)
3/2
2
. Так как касательный вектор имеет координаты r
0
= (1, 2x) ,
то нормальный вектор равен N = (−2x, 1) . Мы выбрали такое его на-
правление, так как r
00
= (0, 2) и (N, r
00
) = 2 > 0 . Единичный вектор
нормали имеет координаты n =
(−2x,1)
√
1+4x
2
. Используя уравнение эволюты
r
1
= r + Rn , получим x
1
= −4x
3
, y
1
= 3x
2
+
1
2
. Это ее параметриче-
ское уравнение. Исключая x , найдем уравнение эволюты в неявном виде
27x
2
= 16(y −
1
2
)
3
. Это полукубическая парабола.
Задача. Дана кривая r = r(s) , s ∈ I . Рассмотрим гладкое отобра-
жение, которое всякой паре чисел (s, λ) прямоугольника I ×R ставит
в соответствие точку r(s, λ) = r(s) + λn(s) на соответствующей
нормали этой кривой. Показать, что множество критических точек
этого отображения есть эволюта заданной кривой.
                                                                                        21

второй порядок малости по отношению к h . Но в силу первой формулы
Френе |ė| = k(s) и поэтому |∆e| = k(s)|h| + O2 (s, h) . Таким образом,
имеем k(s)|h| = |ϕ| + O2 (s, h) , откуда, рассматривая предел при h → 0 ,
получим                                   ¯ϕ¯
                                          ¯ ¯
                              k(s) = lim ¯ ¯ ,
                                      h→0 h
что доказывает утверждение. ¤
  Для того, чтобы наглядно представить изменение кривизны вдоль кри-
вой, рассмотрим множество Γ1 центров кривизны кривой. Так назы-
ваются точки на ее нормалях со стороны вогнутости, расстояние кото-
рых до соответствующей точки кривой равно радиусу кривизны R . В
результате получим, некоторую кривую, которая называется эволютой
заданной кривой. Из определения следует параметрическое уравнение
эволюты
                           r1 = r(t) + R(t)n(t).
Учитывая формулы (24) и (28), запишем это уравнение в координатах
                         y 0 (x02 + y 02 )                        x0 (x02 + y 02 )
         x1 (t) = x(t) −                    ,    y 1 (t) = y(t) +                   . (30)
                          x0 y 00 − y 0 x00                       x0 y 00 − y 0 x00
  Пример. Рассмотрим параболу y = x2 с параметризацией r = (x, x2 ) .
Ее кривизну мы уже подсчитали выше. Радиус кривизны равен R =
(1+4x2 )3/2
    2       . Так как касательный вектор имеет координаты r0 = (1, 2x) ,
то нормальный вектор равен N = (−2x, 1) . Мы выбрали такое его на-
правление, так как r00 = (0, 2) и (N, r00 ) = 2 > 0 . Единичный вектор
нормали имеет координаты n = √(−2x,1)         1+4x2
                                                      . Используя уравнение эволюты
r1 = r + Rn , получим x1 = −4x3 , y1 = 3x2 + 12 . Это ее параметриче-
ское уравнение. Исключая x , найдем уравнение эволюты в неявном виде
27x2 = 16(y − 12 )3 . Это полукубическая парабола.
  Задача. Дана кривая r = r(s) , s ∈ I . Рассмотрим гладкое отобра-
жение, которое всякой паре чисел (s, λ) прямоугольника I ×R ставит
в соответствие точку r(s, λ) = r(s) + λn(s) на соответствующей
нормали этой кривой. Показать, что множество критических точек
этого отображения есть эволюта заданной кривой.

Страницы