Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

23
окружностей с центрами на оси X существует две прямые y = ±1 , оги-
бающие это семейство. У семейства концентрических окружностей оги-
бающей нет. Когда огибающая существует и как ее находить? Укажем
признак существования огибающей и способ ее отыскания.
Теорема 12. Если огибающая 1-параметрического семейства кривых
(31) существует, то функции x = x(a), y = y(a) , задающие ее пара-
метрические уравнения, являются решением следующей системы двух
уравнений с двумя неизвестными
F (x, y, a) = 0,
∂F
∂a
(x, y, a) = 0 . (32)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F(x, y, a) = 0 — уравнение семей-
ства. Огибающая, если она существует, состоит из характеристических
точек — точек касания. Но каждая такая точка соответствует некоторой
кривой семейства и, значит, некоторому значению параметра этого се-
мейства. Поэтому огибающую следует искать в виде x = x(a), y = y(a) .
Какие условия мы имеем на эти две неизвестные функции? Во-первых,
точки огибающей принадлежат кривым семейства, т. е. их координаты
должны удовлетворять уравнению семейства при том же значении пара-
метра. Поэтому имеем тождество (условие принадлежности)
F (x(a), y(a), a) ≡ 0.
Дифференцируя его по параметру a, получим новое тождество
F
x
(x(a), y(a), a)
dx
da
+ F
y
(x(a), y(a), a)
dy
da
+ F
a
(x(a), y(a), a) ≡ 0.
Здесь gradF = (F
x
, F
y
) — нормальный вектор кривой Γ(a) семейства,
r
0
a
= (
dx
da
,
dy
da
) — касательный вектор огибающей в той же точке. Второе
условие заключается в том, что в характеристических точках эти два
вектора должны быть ортогональны (условие касания):
(gradF, r
0
a
) = F
x
dx
da
+ F
y
dy
da
≡ 0.
Следовательно, из предыдущего тождества получаем F
a
(x(a), y(a), a) ≡
0 . Этим доказано, что функции x(a), y(a) должны удовлетворять систе-
ме (32). ¤
Определение. Решение системы (32) называется дискриминант-
ным множеством данного семейства
.
Может оказаться, что дискриминантное множество и не представляет
собой кривую. Проиллюстрируем это на примере.
                                                                               23

окружностей с центрами на оси X существует две прямые y = ±1 , оги-
бающие это семейство. У семейства концентрических окружностей оги-
бающей нет. Когда огибающая существует и как ее находить? Укажем
признак существования огибающей и способ ее отыскания.
Теорема 12. Если огибающая 1-параметрического семейства кривых
(31) существует, то функции x = x(a), y = y(a) , задающие ее пара-
метрические уравнения, являются решением следующей системы двух
уравнений с двумя неизвестными
                                          ∂F
                     F (x, y, a) = 0,        (x, y, a) = 0 .                 (32)
                                          ∂a
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F (x, y, a) = 0 — уравнение семей-
ства. Огибающая, если она существует, состоит из характеристических
точек — точек касания. Но каждая такая точка соответствует некоторой
кривой семейства и, значит, некоторому значению параметра этого се-
мейства. Поэтому огибающую следует искать в виде x = x(a), y = y(a) .
Какие условия мы имеем на эти две неизвестные функции? Во-первых,
точки огибающей принадлежат кривым семейства, т. е. их координаты
должны удовлетворять уравнению семейства при том же значении пара-
метра. Поэтому имеем тождество (условие принадлежности)
                              F (x(a), y(a), a) ≡ 0.
Дифференцируя его по параметру a , получим новое тождество
                         dx                     dy
    Fx (x(a), y(a), a)      + Fy (x(a), y(a), a) + Fa (x(a), y(a), a) ≡ 0.
                         da                     da
Здесь gradF = (Fx , Fy ) — нормальный вектор кривой Γ(a) семейства,
             dy
r0a = ( dx
        da , da ) — касательный вектор огибающей в той же точке. Второе
условие заключается в том, что в характеристических точках эти два
вектора должны быть ортогональны (условие касания):
                                          dx      dy
                     (gradF, r0a ) = Fx      + Fy    ≡ 0.
                                          da      da
Следовательно, из предыдущего тождества получаем Fa (x(a), y(a), a) ≡
0 . Этим доказано, что функции x(a), y(a) должны удовлетворять систе-
ме (32). ¤
   Определение. Решение системы (32) называется дискриминант-
ным множеством данного семейства.
   Может оказаться, что дискриминантное множество и не представляет
собой кривую. Проиллюстрируем это на примере.

Страницы