Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

25
Теорема 14. Эволюта кривой есть огибающая ее нормалей.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дана регулярная кривая, задан-
ная уравнением r = r(t) . Тогда ее нормали задаются уравнениями ρ =
r(t) + λn(t) или в неявном виде (r
0
, (ρ −r(t)) = 0 . При изменении пара-
метра t это дает нам 1-параметрическое семейство. Дифференцируя по
параметру, получим r
00
(ρ−r)−r
02
= 0 . Из этих двух соотношений найдем
λ . Из первого мы имеем ρ − r = λn и подставляя это во второе, полу-
чим λ(r
00
, n) = r
02
. Используя оператор поворота I , единичный вектор
нормали можно получить из единичного касательного вектора n =
Ir
0
|r
0
|
.
В результате предыдущее равенство принимает вид
λ(r
00
,Ir
0
)
|r
0
|
= r
02
, отку-
да λ =
|r
0
|
3
(Ir
0
,r
00
)
= R . Но так как для любой пары векторов на плоскости
(Ia, b) = |[a, b]|, то это выражение дает нам радиус кривизны кривой.
В итоге имеем ρ = r(t) + Rn(t) , что доказывает теорему. ¤
                                                                                  25

Теорема 14. Эволюта кривой есть огибающая ее нормалей.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дана регулярная кривая, задан-
ная уравнением r = r(t) . Тогда ее нормали задаются уравнениями ρ =
r(t) + λn(t) или в неявном виде (r0 , (ρ − r(t)) = 0 . При изменении пара-
метра t это дает нам 1-параметрическое семейство. Дифференцируя по
параметру, получим r00 (ρ−r)−r02 = 0 . Из этих двух соотношений найдем
λ . Из первого мы имеем ρ − r = λn и подставляя это во второе, полу-
чим λ(r00 , n) = r02 . Используя оператор поворота I , единичный вектор
                                                                       Ir0
нормали можно получить из единичного касательного вектора n = |r        0| .
                                                        λ(r00 ,Ir0 )
В результате предыдущее равенство принимает вид            |r0 |       = r02 , отку-
           0 3
да λ = (Ir|r0 ,r| 00 ) = R . Но так как для любой пары векторов на плоскости
(Ia, b) = |[a, b]| , то это выражение дает нам радиус кривизны кривой.
В итоге имеем ρ = r(t) + Rn(t) , что доказывает теорему. ¤

Страницы