Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

27
Пусть x = x(t) — произвольная гладкая функция, имеющая ненулевую
производную x
0
(t) 6= 0 . Тогда получаем
x = x(t), y = f(x(t)), z = g(x(t)),
При этом условие регулярности выполнено. Во многих случаях можно
положить просто x = t . ¤
Примеры.
1) Рассмотрим винтовую линию. Пусть кривая расположена на прямом
круговом цилиндре радиуса a с осью Z. Если t — время, то угол поворо-
та в радианах ϕ = ωt , а смещение точки вдоль оси с линейной скоростью
v равно vt . . Радиус-вектор движущейся точки равен r(t) = ae(ϕ)+bϕk ,
где b =
v
ω
= const . Это регулярная параметризация.
2) Уравнения x
2
+ y
2
+ z
2
− a
2
= 0, z − b = 0 задают сферу и
плоскость, ортогональную оси Z. При b
2
< a
2
это окружность радиу-
са r =
√
a
2
− b
2
, при b
2
= a
2
точка, а если b
2
> a
2
, имеем пустое
множество. Чтобы найти параметрические уравнения окружности, рас-
смотрим якобиеву матрицу
µ
2x 2y 2z
0 0 1
. Здесь минор, образованный
двумя последними столбцами, при y 6= 0 отличен от нуля. Поэтому при
этом условии систему можно разрешить относительно y и z . В резуль-
тате получим приведенные уравнения y = ±
√
a
2
− b
2
− x
2
, z = b . Поло-
жив теперь x =
√
a
2
− b
2
cos t , придем к следующим параметрическим
уравнениям
x =
p
a
2
− b
2
cos t, y =
p
a
2
− b
2
sin t, z = b.
7.2. Касательная прямая и соприкасающаяся плоскость.
Уравнение касательной прямой ξ : R = r(t) + λr
0
(t) для кривой в
3-пространстве, заданной параметрическим уравнением, имеет в декар-
товых координатах вид
X − x(t)
x
0
(t)
=
Y − y(t)
y
0
(t)
=
Z − z(t)
z
0
(t)
и имеет смысл в регулярных точках.
Точка параметризованной кривой называется бирегулярной, если в этой
точке векторы первой и второй производных линейно независимы:
[
r
0
,
r
00
]
6
=
0 . Тогда в пучке плоскостей, проходящих через касательную прямую, од-
на определяется однозначно.
                                                                        27

Пусть x = x(t) — произвольная гладкая функция, имеющая ненулевую
производную x0 (t) 6= 0 . Тогда получаем
                  x = x(t),   y = f (x(t)),   z = g(x(t)),
При этом условие регулярности выполнено. Во многих случаях можно
положить просто x = t . ¤
  Примеры.
  1) Рассмотрим винтовую линию. Пусть кривая расположена на прямом
круговом цилиндре радиуса a с осью Z. Если t — время, то угол поворо-
та в радианах ϕ = ωt , а смещение точки вдоль оси с линейной скоростью
v равно vt . . Радиус-вектор движущейся точки равен r(t) = ae(ϕ)+bϕk ,
где b = ωv = const . Это регулярная параметризация.

  2) Уравнения x2 + y 2 + z 2 − a2 = 0, z − b = 0 задают сферу и
плоскость,
        √ ортогональную  оси Z. При b2 < a2 это окружность радиу-
са r = a2 − b2 , при b2 = a2 точка, а если b2 > a2 , имеем пустое
множество. Чтобы найти параметрические
                          µ            ¶ уравнения окружности, рас-
                             2x 2y 2z
смотрим якобиеву матрицу                 . Здесь минор, образованный
                              0 0 1
двумя последними столбцами, при y 6= 0 отличен от нуля. Поэтому при
этом условии систему можно разрешить относительно
                                           √         y и z . В резуль-
тате получим приведенные
                √        уравнения y = ± a − b − x2 , z = b . Поло-
                                              2   2

жив теперь x = a2 − b2 cos t , придем к следующим параметрическим
уравнениям
                p                   p
           x = a2 − b2 cos t, y = a2 − b2 sin t, z = b.



 7.2. Касательная прямая и соприкасающаяся плоскость.

  Уравнение касательной прямой ξ : R = r(t) + λr0 (t) для кривой в
3-пространстве, заданной параметрическим уравнением, имеет в декар-
товых координатах вид
                     X − x(t) Y − y(t) Z − z(t)
                               =           =
                       x0 (t)      y 0 (t)   z 0 (t)
и имеет смысл в регулярных точках.
   Точка параметризованной кривой называется бирегулярной, если в этой
точке векторы первой и второй производных линейно независимы: [r0 , r00 ] 6=
0 . Тогда в пучке плоскостей, проходящих через касательную прямую, од-
на определяется однозначно.

Страницы