Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 35 стр.

                                                                         29

 7.3. Сопровождающий репер и формулы Френе. Кривизна и
кручение.

  Пусть параметризованная кривая Γ бирегулярна. Как и в случае плос-
кой кривой, мы однозначно свяжем с каждой ее точкой ортонормирован-
ный репер с началом в этой точке. Его движение вдоль кривой даст нам
информацию о том, как кривая устроена локально, в окрестности данной
точки.
  Для этого отнесем кривую сначала к натуральной параметризации. В
качестве первого вектора возьмем единичный касательный вектор e = ṙ .
Рассмотрим теперь вектор кривизны r̈ . Напомним, что он ортогонален
касательной, по определению лежит в соприкасающейся плоскости и для
бирегулярной кривой отличен от нуля. Нормируя его, получим второй
                            r̈
единичный вектор n = |r̈|      . Для того, чтобы завершить построение, рас-
смотрим ортогональный к ним орт бинормали b = [e, n] . Репер {e, n, b}
является ортонормированным и имеет правую ориентацию. Он называ-
ется сопровождающим репером кривой.
  Пусть теперь кривая отнесена к произвольной параметризации: r =
r(t) . Рассмотрим касательный вектор r0 . Он направлен в сторону воз-
растания параметра, но не единичный. Чтобы получить единичный век-
                                                          0
тор, надо касательный вектор пронормировать: e = |rr0 | . Далее, так как
кривая по условию бирегулярна, то векторы r0 и r00 не параллельны и
образуют базис соприкасающейся плоскости. К ней ортогонален вектор
бинормали B = [r0 , r00 ] . Его орт дает нам третий вектор ортонормиро-
ванного репера b . Завершая построение, мы возьмем n = [b, e] . В итоге
получим репер правой ориентации. Итак,
                     r0                         [r0 , r00 ]
                  e= 0 ,     n = [b, e] ,   b = 0 00 .                (35)
                    |r |                       |[r , r ]|
Тем самым наше построение завершено.
  Аналогами координатных осей построенного репера являются три пря-
мые. Кроме касательной прямой ξ мы имеем главную нормаль η , про-
ходящую в направлении вектора N (она, следовательно, лежит в со-
прикасающейся плоскости) и бинормаль ζ , проходящую в направлении
вектора B . Она ортогональна соприкасающейся плоскости. Кроме то-
го имеется три плоскости — аналоги координатных плоскостей. Одна из
них Π — соприкасающаяся. Две другие, ортогональные соответственно
касательной прямой и главной нормали, называются нормальной плоско-
стью и спрямляющей плоскостью. Нетрудно записать уравнения этих
плоскостей.