Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

31
эта плоскость является соприкасающейся плоскостью кривой. Отсюда
следует, что единичный вектор бинормали, ортогональный плоскости Π ,
постоянен и его производная равна нулю. Но тогда из третьего уравнения
Френе вытекает qn = 0 , что равносильно q = 0 .
Обратно, пусть q = 0 . Из того же уравнения Френе следует
˙
b = 0 и
поэтому b = const . Рассмотрим тождество (b, r
0
(t)) ≡ 0 . Интегрируя
его, получим (b, r(t)) + c ≡ 0 , где c — постоянная интегрирования.
Это новое тождество означает, что радиус-вектор кривой удовлетворяет
уравнению плоскости (b, r) + c ≡ 0 и, следовательно, кривая является
плоской. ¤
                                                                    31

эта плоскость является соприкасающейся плоскостью кривой. Отсюда
следует, что единичный вектор бинормали, ортогональный плоскости Π ,
постоянен и его производная равна нулю. Но тогда из третьего уравнения
Френе вытекает qn = 0 , что равносильно q = 0 .
  Обратно, пусть q = 0 . Из того же уравнения Френе следует ḃ = 0 и
поэтому b = const . Рассмотрим тождество (b, r0 (t)) ≡ 0 . Интегрируя
его, получим (b, r(t)) + c ≡ 0 , где c — постоянная интегрирования.
Это новое тождество означает, что радиус-вектор кривой удовлетворяет
уравнению плоскости (b, r) + c ≡ 0 и, следовательно, кривая является
плоской. ¤

Страницы