Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 23 стр.

                                                                          17

  Заметим, что особая точка "восьмерки"при ее параметрическом зада-
нии является регулярной. Особая точка проходится при двух значениях
параметра: t = π2 и t = 3π                            0
                              2 . Касательный вектор r = (− sin t, 2 cos 2t)
при этих значениях параметра равен соответственно r0 ( π2 ) = (−1, −2)
и r0 ( 3π
        2 ) = (1, −2) . Это направляющие векторы соответствующих каса-
тельных.
  2) Если ∆ < 0 , то квадратное уравнение не имеет вещественных кор-
ней. Следовательно, в такой особой точке нет касательных. Это случай
изолированной особой точки.
  Пример. Пусть кривая имеет неявное уравнение (x − 1)(x2 + y 2 ) = 0 .
Она распадается на прямую x − 1 = 0 и на не лежащую на ней точку
— начало координат. Это изолированная особая точка и в ней нет ка-
сательных. В самом деле, проводя вычисления, мы получим квадратное
уравнение 1 + k 2 = 0 , которое не имеет вещественных корней.
  3) Пусть теперь ∆ = 0 . Мы имеем кратный корень и только одну
касательную, но зато двойную (это отличает ее от обычной касатель-
ной). Такая особая точка называется точкой возврата. Причина такого
названия видна из следующего примера.
  Пример. Кривая с неявным уравнением y 2 = x√      3
                                                      называется √ полуку-
бической параболой. Она имеет две ветви: y = x x и y = −x x , ко-
торые сходятся в начале координат и касаются друг друга в этой точке.
Это точка возврата. Вычисления показывают, что в этой точке ∆ = 0 ,
а квадратное уравнение имеет вид k 2 = 0 с кратным корнем k = 0 .
Поэтому имеем двойную касательную в начале координат – ось X .
  Если все вторые производные функции F в особой точке также обра-
щаются в нуль, то надо продифференцировать указанное выше тожде-
ство еще раз. Вычислив результат в особой точке, придем к кубическо-
му уравнению для угловых коэффициентов касательных. Если при этом
производные третьего порядка не все равны нулю, то мы имеем дело с
особой точкой второго порядка, в которой может существовать до трех
касательных. Вообще, если производные k -го порядка в особой точке все
равны нулю, но существуют ненулевые производные (k + 1) -го порядка,
то это особая точка k -го порядка.