Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

15
Если кривая задана приведенным уравнением y = y(x) , то поскольку
y
0
x
0
= y
0
x
, получим отсюда
Y = k(X − x
0
) + y
0
, k = y
0
x
(x
0
).
Прямая, ортогональная касательной в точке кривой, называется норма-
лью. Чтобы получить ее уравнение, надо повернуть касательный вектор
на прямой угол. Такой поворот против часовой стрелки можно сделать
с помощью оператора поворота, который в прямоугольных координатах
имеет матрицу I =
µ
0 −1
1 0
. Тогда получим вектор нормали, который
в данной точке имеет вид N
0
= Ir
0
0
= (−y
0
0
, x
0
0
) . Поэтому
R = r
0
+ λIr
0
0
. (17)
Отсюда имеем каноническое уравнение нормали
X − x
0
−y
0
0
=
Y −y
0
x
0
0
, (18)
которое можно записать также в виде
Y = −
1
k
(X − x
0
) + y
0
, k = y
0
x
(x
0
).
Рассмотрим теперь случай, когда кривая задана неявным уравнением.
Пусть x = x(t), y = y(t) — параметризация этой кривой. Подставив эти
функции в (15), получим тождество F (x(t), y(t)) ≡ 0. Дифференцируя
его, получим новое тождество
(gradF, r
0
) = F
x
x
0
(t) + F
y
y
0
(t) ≡ 0.
Отсюда следует, что если в точке кривой (x
0
, y
0
) градиент gradF |
0
6=
0 , то в ней этот вектор направлен по нормали и поэтому каноническое
уравнение нормали имеет вид
X − x
0
F
0
x
=
Y −y
0
F
0
y
. (19)
С другой стороны, с точностью до множителя x
0
: y
0
= −F
y
: F
x
. Поэто-
му уравнение касательной в той же точке получим в виде
X − x
0
−F
0
y
=
Y −y
0
F
0
x
или F
0
x
(X − x
0
) + F
0
y
(Y −y
0
) = 0 . (20)
4.3. Особые точки плоской кривой.
Рассмотрим плоскую кривую, заданную неявным уравнением F (x, y) =
0 .
                                                                     15

Если кривая задана приведенным уравнением y = y(x) , то поскольку
y0    0
x0 = yx , получим отсюда
                   Y = k(X − x0 ) + y0 ,      k = yx0 (x0 ).
Прямая, ортогональная касательной в точке кривой, называется норма-
лью. Чтобы получить ее уравнение, надо повернуть касательный вектор
на прямой угол. Такой поворот против часовой стрелки можно сделать
с помощью оператора
                  µ поворота,
                          ¶ который в прямоугольных координатах
                     0 −1
имеет матрицу I =           . Тогда получим вектор нормали, который
                     1 0
в данной точке имеет вид N0 = Ir00 = (−y00 , x00 ) . Поэтому
                              R = r0 + λIr00 .                     (17)
Отсюда имеем каноническое уравнение нормали
                           X − x0   Y − y0
                                  =        ,                     (18)
                            −y00      x00
которое можно записать также в виде
                         1
                  Y = − (X − x0 ) + y0 , k = yx0 (x0 ).
                         k
  Рассмотрим теперь случай, когда кривая задана неявным уравнением.
Пусть x = x(t), y = y(t) — параметризация этой кривой. Подставив эти
функции в (15), получим тождество F (x(t), y(t)) ≡ 0 . Дифференцируя
его, получим новое тождество
                  (gradF, r0 ) = Fx x0 (t) + Fy y 0 (t) ≡ 0.
Отсюда следует, что если в точке кривой (x0 , y0 ) градиент gradF |0 6=
0 , то в ней этот вектор направлен по нормали и поэтому каноническое
уравнение нормали имеет вид
                           X − x0    Y − y0
                               0
                                  =         .                      (19)
                             Fx        Fy0
С другой стороны, с точностью до множителя x0 : y 0 = −Fy : Fx . Поэто-
му уравнение касательной в той же точке получим в виде
       X − x0    Y − y0
            0
               =          или Fx0 (X − x0 ) + Fy0 (Y − y0 ) = 0 .  (20)
         −Fy        Fx0


 4.3. Особые точки плоской кривой.

  Рассмотрим плоскую кривую, заданную неявным уравнением F (x, y) =
0.

Страницы