Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

14
Примеры.
1) Рассмотрим окружность F = x
2
+ y
2
− 1 = 0 . Функция, стоящая в
левой части, гладкая с градиентом gradF = (2x, 2y) , который в точках
окружности не обращается в нуль. Если F
y
= 2y 6= 0 , то при этом усло-
вии, исключающем точки окружности на оси OX , мы имеем решения
y =
√
1 − x
2
и y = −
√
1 − x
2
. Каждое из них определяет график соот-
ветствующей функции — полуокружность. С другой стороны, в области
F
x
= 2x 6= 0 , исключающей точки окружности (0, ±1) , кривая может
быть представлена в аналогичном виде x = ±
p
1 − y
2
.
2) Колебания материальной точки массы m = 1 на евклидовой прямой
около положения равновесия описывается дифференциальным уравне-
нием x
00
= −ωx , ω = const > 0 . Кинетическая и потенциальная энергия
точки вычисляются по формулам T =
x
0 2
2
, U =
ωx
2
2
. Поэтому полная
энергия равна E =
1
2
(ωx
2
+ x
02
) . Закон движения точки описывается
фазовой кривой в плоскости переменных x, y = x
0
, вдоль которой пол-
ная энергия постоянна: E = const . Следовательно, кривая имеет неявное
уравнение ωx
2
+ y
2
= const . Это эллипсы.
Как связаны параметрическое и неявное уравнения кривой? Если регу-
лярная кривая задана параметрически, то мы получим ее неявное урав-
нение, исключив параметр t . Например, при x
0
6= 0 это можно сделать,
выразив t через x : t = t(x) . Тогда получим y = y(t(x)) = f(x) .
Это приведенное уравнение является частным случаем неявного F =
f(x) − y = 0 .
Пример. Окружность радиуса a с центром r
0
имеет параметрическое
уравнение r(t) = r
0
+ae(t) или в координатах x = x
0
+ a cos t , y =
y
0
+ a sin t . Здесь параметр t легко исключается и мы получим неявное
уравнение (x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
= a
2
.
4.2. Касательная и нормаль.
Уравнение касательной параметризованных кривых мы уже определи-
ли: в точке r
0
ее уравнение R = r
0
+ λr
0
0
. Для плоских кривых в точке
оно имеет вид
X = x
0
+ λx
0
0
, Y = y
0
+ λy
0
0
.
После исключения параметра λ получим каноническое уравнение каса-
тельной
X − x
0
x
0
0
=
Y − y
0
y
0
0
. (16)
14

   Примеры.
   1) Рассмотрим окружность F = x2 + y 2 − 1 = 0 . Функция, стоящая в
левой части, гладкая с градиентом gradF = (2x, 2y) , который в точках
окружности не обращается в нуль. Если Fy = 2y 6= 0 , то при этом усло-
вии, √исключающем точки √ окружности на оси OX , мы имеем решения
y = 1 − x2 и y = − 1 − x2 . Каждое из них определяет график соот-
ветствующей функции — полуокружность. С другой стороны, в области
Fx = 2x 6= 0 , исключающей точки окружности    p (0, ±1) , кривая может
быть представлена в аналогичном виде x = ± 1 − y 2 .
   2) Колебания материальной точки массы m = 1 на евклидовой прямой
около положения равновесия описывается дифференциальным уравне-
нием x00 = −ωx , ω = const > 0 . Кинетическая и потенциальная энергия
                                           02        2
точки вычисляются по формулам T = x2 , U = ωx2 . Поэтому полная
энергия равна E = 12 (ωx2 + x02 ) . Закон движения точки описывается
фазовой кривой в плоскости переменных x, y = x0 , вдоль которой пол-
ная энергия постоянна: E = const . Следовательно, кривая имеет неявное
уравнение ωx2 + y 2 = const . Это эллипсы.
   Как связаны параметрическое и неявное уравнения кривой? Если регу-
лярная кривая задана параметрически, то мы получим ее неявное урав-
нение, исключив параметр t . Например, при x0 6= 0 это можно сделать,
выразив t через x : t = t(x) . Тогда получим y = y(t(x)) = f (x) .
Это приведенное уравнение является частным случаем неявного F =
f (x) − y = 0 .
   Пример. Окружность радиуса a с центром r0 имеет параметрическое
уравнение r(t) = r0 +ae(t) или в координатах x = x0 + a cos t , y =
y0 + a sin t . Здесь параметр t легко исключается и мы получим неявное
уравнение (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = a2 .


     4.2. Касательная и нормаль.


  Уравнение касательной параметризованных кривых мы уже определи-
ли: в точке r0 ее уравнение R = r0 + λr00 . Для плоских кривых в точке
оно имеет вид
                    X = x0 + λx00 ,   Y = y0 + λy00 .
После исключения параметра λ получим каноническое уравнение каса-
тельной
                        X − x0   Y − y0
                               =        .                    (16)
                          x00      y00

Страницы