Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

12
Определение. Касательной прямой в данной точке называется пре-
дельное положение секущей T = lim
h→0
L(h) .
Найдем уравнение касательной. Вектор, соединяющий две рассматри-
ваемые точки, равен
∆r = r(t + h) − r(t) = r
0
(t)h + 0(t, h).
В пределе, если он существует, это дает направляющий вектор r
0
(t) . Он
называется касательным вектором кривой в точке t . Поэтому уравне-
ние касательной прямой в регулярной точке имеет вид
R = r(t) + λr
0
(t), −∞ < λ < ∞. (13)
Как мы видели, при переходе к другому параметру
dg
dτ
=
dr
dt
df
dτ
. Таким
образом, касательный вектор зависит от параметризации кривой, но его
направление от параметризации не зависит. Поэтому касательная пря-
мая определена инвариантно, независимо от выбора параметра кривой.
Рассмотрим, в частности, натуральный параметр. Следующее свойство
выделяет его среди других.
Теорема 7. Параметризация кривой является натуральной тогда и
только тогда, когда касательный вектор является единичным.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства необходимости продиф-
ференцируем формулу (12) по s . Получим 1 = |
˙
r(s)|, где точкой обозна-
чена производная по натуральному параметру. Обратно, пусть параметр
t обладает этим свойством: |r
0
|(t) = 1 . Тогда из той же формулы имеем
s = t −t
0
или t = t
0
+ s . Это значит, что параметр t отсчитывает длину
дуги кривой от начальной точки. В частности, выбрав t
0
= 0 , получим
t = s . ¤
12

  Определение. Касательной прямой в данной точке называется пре-
дельное положение секущей T = limh→0 L(h) .
  Найдем уравнение касательной. Вектор, соединяющий две рассматри-
ваемые точки, равен
                 ∆r = r(t + h) − r(t) = r0 (t)h + 0(t, h).
В пределе, если он существует, это дает направляющий вектор r0 (t) . Он
называется касательным вектором кривой в точке t . Поэтому уравне-
ние касательной прямой в регулярной точке имеет вид
                   R = r(t) + λr0 (t),   −∞ < λ < ∞.                (13)
Как мы видели, при переходе к другому параметру dg      dr df
                                                   dτ = dt dτ . Таким
образом, касательный вектор зависит от параметризации кривой, но его
направление от параметризации не зависит. Поэтому касательная пря-
мая определена инвариантно, независимо от выбора параметра кривой.
  Рассмотрим, в частности, натуральный параметр. Следующее свойство
выделяет его среди других.
Теорема 7. Параметризация кривой является натуральной тогда и
только тогда, когда касательный вектор является единичным.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства необходимости продиф-
ференцируем формулу (12) по s . Получим 1 = |ṙ(s)| , где точкой обозна-
чена производная по натуральному параметру. Обратно, пусть параметр
t обладает этим свойством: |r0 |(t) = 1 . Тогда из той же формулы имеем
s = t − t0 или t = t0 + s . Это значит, что параметр t отсчитывает длину
дуги кривой от начальной точки. В частности, выбрав t0 = 0 , получим
t = s. ¤

Страницы