Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 19 стр.

                                                                              13

                   ЛЕКЦИЯ 4. ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ.

  4.1. Неявное и приведенное уравнения плоской кривой

  Плоскую кривую можно задать параметрическим уравнением r = r(t)
и если расположить ее в плоскости XY , то в декартовых координатах
это уравнение имеет вид
                             x = x(t),   y = y(t).                         (14)
Наряду с этим плоскую кривую часто задают неявным уравнением F (x, y) =
0 . При этом функция F должна удовлетворять некоторым условиям,
ибо имеет место
Теорема 8. (Уитни) Для любого замкнутого подмножества M ⊂ En
существует гладкая функция F (x1 , . . . , xn ) такая, что точка (x1 , . . . , xn )
принадлежит M тогда и только тогда, когда F (x1 , . . . , xn ) = 0 .
  В связи с этим возникает вопрос: когда неявное уравнение
                                 F (x, y) = 0                              (15)
действительно задает кривую на плоскости?
Теорема 9. Непустое подмножество Γ = {(x, y) : F (x, y) = 0} есть
кривая на плоскости, если: 1) ¯функция F дифференцируемая; 2) В точ-
                              ¯
ках этого множества gradF ¯ 6= 0 .
                                  Γ
  Д о к а з а т е л ь с т в о следует непосредственно из теоремы 3. В
самом деле, отображение F : (x, y) → z = F (x, y) дифференцируемо,
а его якобиева матрица J = (Fx , Fy ) имеет в точках множества F = 0
максимально возможный ранг 1. Поэтому это отображение регулярно, а
точка z = 0 является регулярным значением. Осталось заметить, что
Γ = F −1 (0) . ¤
  Поясним по этому случаю теорему о неявных функциях. В силу этой
теоремы для каждой точки (x, y) ∈ Γ существует окрестность U , в
которой уравнение F = 0 локально разрешимо либо относительно x ,
либо относительно y . Если, например, производная по y отлична от
нуля, то имеем y = f (x) : F (x, f (x)) ≡ 0 , где f (x) — дифференцируемая
функция, определенная в некотором интервале I оси X. Такое уравнение
называется приведенным уравнением кривой. Оно всегда задает кривую
с графиком: Γ = {(x, f (x)) ∈ E2 } , x ∈ I . В самом деле, отображение
x → (x, f (x)) непрерывно, а обратное к нему осуществляется с помощью
проекции, параллельной оси Y, которая также непрерывна. Если же в
окрестности данной точки Fx 6= 0 , ¤