Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 17 стр.

                                                                                11

  В дальнейшем мы будем рассматривать только регулярно параметри-
зованные кривые. Для них существует параметр, обладающий рядом хо-
роших свойств — это длина дуги кривой.
  Определение. Ориентированной длиной дуги параметризованной кри-
вой между точками с параметрами t1 , t2 называется число
                             Z t2
                          s=      |r0 (t)|dt.                 (11)
                                        t1
Заметим, что это число может быть положительным и отрицательным в
зависимости от положения заданных точек.
  Выберем на кривой точку t = t0 и за параметр точки r(t) кривой,
принадлежащей окрестности начальной точки, примем ориентирован-
ную длину дуги s между ними. Связь между параметрами t и s опре-
деляется функцией          Z       t
                            s=         |r0 (t)|dt = f (t).                   (12)
                                  t0
Эта функция дает замену параметра t → s . Дифференцируя интеграл
по верхнему пределу, получим df         0
                                 dt = |r (t)| > 0 , так что s определяет
регулярную параметризацию кривой и, более того, не изменяет ее ори-
ентацию. Чтобы получить новое параметрическое уравнение, выразим t
через s : t = f −1 (s) . В итоге получим g(s) = r(f −1 (s)) , что решает
задачу.
Теорема 6. Длина дуги является инвариантом кривой, не зависит от
выбора исходного параметра и зависит лишь от выбора начальной точ-
ки.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть наряду с параметром t кривая
отнесена к параметру τ и t = f (τ ) — диффеоморфизм. Пусть t0 =
                                                df                       dr dτ
f (τ0 ) и сохраняется ориентация кривой: dτ        > 0 . Тогда |r0 | = | dτ dt | =
  dr dτ
| dτ | dt . Вычисляя длину дуги и сделав в формуле (12) замену параметра,
получим
                                Z f (τ ) ¯ ¯
                                         ¯ dr ¯
                         s(t) =          ¯ ¯dτ = s(τ ).
                                 f (τ0 ) dτ
Если же заменить начальную точку, то этот праметр измениться на ад-
дитивную постоянную s̄ = s + c . Это и есть наше утверждение. ¤

  3.3. Касательная прямая кривой.

  Рассмотрим на параметризованной кривой регулярную точку r(t) и в
ее окрестности точку r(t + h) . Проведем через них прямую L(h) , назы-
ваемую секущей прямой. Ее положение зависит от выбора h .