Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10
Примеры:
1) В. ф. r = r
0
+ pt задает прямую с опорной точкой r
0
= r(0) и на-
правляющим вектором p 6= 0 . Векторная функция r = r
0
+ pt
3
задает
тот же носитель — прямую, но так как r
0
= 3pt
2
, эта параметризация не
регулярна при t = 0 . В. ф. r = r
0
+ pt
2
задает луч с началом r
0
. Эта
точка является не регулярной и в то же время особой точкой луча.
2) Периодическая в. ф. r = r
0
+ a e(t) задает на плоскости окружность с
центром r
0
радиуса a . Здесь r
0
= ag(t) 6= 0 . Уравнение r = r
0
+ ae(nt)
задает ту же окружность, но скорость по модулю в n раз больше: r
0
=
nag(nt) .
3) Рассмотрим винтовую линию, лежащую на цилиндре радиуса a в E
3
.
Она получается вращением точки вокруг оси цилиндра и одновремен-
но ее равномерным переносом вдоль этой оси, пропорциональным углу
поворота. Пусть ω = const — угловая скорость вращения точки. Тогда
ϕ = ωt есть угол поворота за время t и v = bϕ – пропорциональная ему
линейная скорость. Радиус-вектор точки будет иметь вид
r = ae(ϕ) + bϕk, a, b = const.
Это регулярная параметризация.
4) Рассмотрим на евклидовой плоскости кривую, заданную векторной
функцией r(t) = (cos t, sin 2t) . Нетрудно видеть, что эта параметриза-
ция регулярна. Кривая лежит внутри единичного квадрата с центром
в начале координат и при 0 ≤ t ≤ 2 π ее точка дважды, при t =
π
2
и
t =
3π
2
, проходит через начало координат, образуя восьмерку. Начало
координат является регулярной, но особой точкой этой кривой.
3.2. Длина дуги и натуральный параметр кривой.
Кривая и параметризованная кривая — это разные понятия. Один и
тот же носитель, как мы видели в примерах, может быть получен с по-
мощью разных в. ф., т. е. иметь разные параметрические уравнения.
Перейдем от параметра t к другому параметру τ с помощью диффео-
морфизма t = f(τ) . Тогда мы получим в. ф. g(τ) = r(f(τ)) с тем же
носителем. Такие параметризации называются эквивалентными. Усло-
вие регулярности при этом не нарушится. В самом деле,
dg
dτ
=
dr
dt
df
dτ
,
а так как
df
dτ
6= 0 , то и
dg
dτ
6= 0 .
10

  Примеры:
1) В. ф. r = r0 + pt задает прямую с опорной точкой r0 = r(0) и на-
правляющим вектором p 6= 0 . Векторная функция r = r0 + pt3 задает
тот же носитель — прямую, но так как r0 = 3pt2 , эта параметризация не
регулярна при t = 0 . В. ф. r = r0 + pt2 задает луч с началом r0 . Эта
точка является не регулярной и в то же время особой точкой луча.
2) Периодическая в. ф. r = r0 + ae(t) задает на плоскости окружность с
центром r0 радиуса a . Здесь r0 = ag(t) 6= 0 . Уравнение r = r0 + ae(nt)
задает ту же окружность, но скорость по модулю в n раз больше: r0 =
nag(nt) .
3) Рассмотрим винтовую линию, лежащую на цилиндре радиуса a в E3 .
Она получается вращением точки вокруг оси цилиндра и одновремен-
но ее равномерным переносом вдоль этой оси, пропорциональным углу
поворота. Пусть ω = const — угловая скорость вращения точки. Тогда
ϕ = ωt есть угол поворота за время t и v = bϕ – пропорциональная ему
линейная скорость. Радиус-вектор точки будет иметь вид

                         r = ae(ϕ) + bϕk,         a, b = const.

Это регулярная параметризация.
4) Рассмотрим на евклидовой плоскости кривую, заданную векторной
функцией r(t) = (cos t, sin 2t) . Нетрудно видеть, что эта параметриза-
ция регулярна. Кривая лежит внутри единичного квадрата с центром
в начале координат и при 0 ≤ t ≤ 2π ее точка дважды, при t = π2 и
t = 3π
     2 , проходит через начало координат, образуя восьмерку. Начало
координат является регулярной, но особой точкой этой кривой.

     3.2. Длина дуги и натуральный параметр кривой.

  Кривая и параметризованная кривая — это разные понятия. Один и
тот же носитель, как мы видели в примерах, может быть получен с по-
мощью разных в. ф., т. е. иметь разные параметрические уравнения.
Перейдем от параметра t к другому параметру τ с помощью диффео-
морфизма t = f (τ ) . Тогда мы получим в. ф. g(τ ) = r(f (τ )) с тем же
носителем. Такие параметризации называются эквивалентными. Усло-
вие регулярности при этом не нарушится. В самом деле,
                                         dg dr df
                                            =       ,
                                         dτ   dt dτ
            df                 dg
а так как   dτ   6= 0 , то и   dτ   6= 0 .

Страницы