Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

8
2.3. Векторные функции скалярного аргумента. Круговые век-
торные функции.
Рассмотрим, в частности, в. ф. r : I = (a, b) → E
n
одного скалярного
аргумента, когда m = 1 . Этот аргумент обозначим через t . В этом
случае h также число и дифференциал в. ф. имеет вид dr(t, h) =
dr
dt
(t)h .
Поэтому производная, которую мы обозначим штрихом, записывается в
виде
dr
dt
(t) := r
0
(t) = lim
h→0
r(t + h) − r(t)
h
.
Якобиева матрица для в. ф. скалярного аргумента состоит из одного
столбца и поэтому условие регулярности в. ф. сводится к отличию от
нуля производной: r
0
6= 0 . Рассмотрим в. ф., которым нет аналога в
общем случае. Это две круговые векторные функции.
Определение. Первой круговой называется в. ф. e(t) : E → E
2
, ко-
торая каждому t ∈ E
1
ставит в соответствие единичный вектор ев-
клидовой плоскости, образующий ориентированный угол t с осью OX
прямоугольных координат. Вторая круговая в. ф. определяется равен-
ством g(t) = e(t +
π
2
) .
Из этого определения следует, что эти в. ф. являются периодическими
с периодом 2π , имеют постоянный модуль, равный единице, и ортого-
нальны: (e, g) ≡ 0 . Их прямоугольные координаты на плоскости равны
e(t) = (cos t, sin t), g(t) = (−sin t, cos t). (10)
Находя производные, получим
e
0
(t) = g(t), g
0
(t) = −e(t).
В дальнейшем мы будем рассматривать круговые в. ф. также и в 3-
мерном пространстве. Если при этом круговые в. ф. принадлежат плос-
кости XOY, то третья координата будет равна нулю. В этом случае обыч-
но рассматривается также единичный вектор k оси OZ, дополняющий
их до правого ортонормированного репера {e, g, k}. Как и для всякого
такого репера, справедливы тождества
(e, g) ≡ 0, (g, k) ≡ 0, (k, e) ≡ 0,
а также тождества
[e, g] ≡ k, [g, k] ≡ e, [k, e] ≡ g .
8

  2.3. Векторные функции скалярного аргумента. Круговые век-
торные функции.

  Рассмотрим, в частности, в. ф. r : I = (a, b) → En одного скалярного
аргумента, когда m = 1 . Этот аргумент обозначим через t . В этом
случае h также число и дифференциал в. ф. имеет вид dr(t, h) = dr
                                                                dt (t)h .
Поэтому производная, которую мы обозначим штрихом, записывается в
виде
                   dr                      r(t + h) − r(t)
                       (t) := r0 (t) = lim                 .
                    dt                 h→0        h
  Якобиева матрица для в. ф. скалярного аргумента состоит из одного
столбца и поэтому условие регулярности в. ф. сводится к отличию от
нуля производной: r0 6= 0 . Рассмотрим в. ф., которым нет аналога в
общем случае. Это две круговые векторные функции.
  Определение. Первой круговой называется в. ф. e(t) : E → E2 , ко-
торая каждому t ∈ E1 ставит в соответствие единичный вектор ев-
клидовой плоскости, образующий ориентированный угол t с осью OX
прямоугольных координат. Вторая круговая в. ф. определяется равен-
ством g(t) = e(t + π2 ) .
  Из этого определения следует, что эти в. ф. являются периодическими
с периодом 2π , имеют постоянный модуль, равный единице, и ортого-
нальны: (e, g) ≡ 0 . Их прямоугольные координаты на плоскости равны
               e(t) = (cos t, sin t),   g(t) = (− sin t, cos t).     (10)
Находя производные, получим
                       e0 (t) = g(t),   g0 (t) = −e(t).
  В дальнейшем мы будем рассматривать круговые в. ф. также и в 3-
мерном пространстве. Если при этом круговые в. ф. принадлежат плос-
кости XOY, то третья координата будет равна нулю. В этом случае обыч-
но рассматривается также единичный вектор k оси OZ, дополняющий
их до правого ортонормированного репера {e, g, k} . Как и для всякого
такого репера, справедливы тождества
                    (e, g) ≡ 0, (g, k) ≡ 0, (k, e) ≡ 0,
а также тождества
                     [e, g] ≡ k, [g, k] ≡ e, [k, e] ≡ g .

Страницы