Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6
Рассмотрим эту ситуацию в координатах. Мы имеем систему функци-
ональных уравнений
x
1
(u
1
, . . . , u
m
) = c
1
,
. . . . . . . . .
x
n
(u
1
, . . . , u
m
) = c
n
,
(6)
где m > n и ранг якобиевой матрицы (5) системы равен n для всех
(u
1
, . . . , u
n
) , удовлетворяющих этим уравнениям. Тогда в силу теоремы
о неявных функциях эту систему можно локально, в некоторой окрестно-
сти каждой точки, разрешить относительно n переменных. Каких имен-
но, зависит от положения ненулевого минора в якобиевой матрице. Если,
например, этот минор образован n первыми столбцами, то решение име-
ет вид
u
1
= g
1
(u
n+1
, . . . , u
m
),
. . . . . . . . .
u
n
= g
n
(u
n+1
, . . . , u
m
),
(7)
так что подстановка этих функций в заданную систему обращает ее в
тождество.
На этой теореме основано задание подмногообразия системой неявных
уравнений (6). Система (7) задает приведенные уравнения этого подмно-
гообразия.
2.2. Другие специальные векторные функции.
Рассмотрим некоторые специальные в. ф. и найдем их аналитические
признаки.
Определение. Говорят, что в. ф. r : U ⊂ E
m
→ E
n
имеет посто-
янный модуль, если |r(u)| = const .
Теорема 3. В. ф. имеет постоянный модуль тогда и только тогда,
когда
(r, dr) ≡ 0. (8)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Дифференцируя модуль в. ф. |r| =
p
(r, r) ,
получим формулу
d|r| =
(r, dr)
|r|
,
откуда и следует доказательство. ¤
Определение
.
В. ф., определенная в области
U
⊂
E
m
, называет-
ся коллинеарной, если она имеет постоянное направление в простран-
стве.
6

  Рассмотрим эту ситуацию в координатах. Мы имеем систему функци-
ональных уравнений
                      1 1
                      x (u , . . . , um ) = c1 ,
                             ...           ... ...            (6)
                      n 1             m        n
                       x (u , . . . , u ) = c ,
где m > n и ранг якобиевой матрицы (5) системы равен n для всех
(u1 , . . . , un ) , удовлетворяющих этим уравнениям. Тогда в силу теоремы
о неявных функциях эту систему можно локально, в некоторой окрестно-
сти каждой точки, разрешить относительно n переменных. Каких имен-
но, зависит от положения ненулевого минора в якобиевой матрице. Если,
например, этот минор образован n первыми столбцами, то решение име-
ет вид                        1
                             u     = g 1 (un+1 , . . . , um ),
                               ... ...         ...                      (7)
                              n        n n+1              m
                               u    = g (u , . . . , u ),
так что подстановка этих функций в заданную систему обращает ее в
тождество.
  На этой теореме основано задание подмногообразия системой неявных
уравнений (6). Система (7) задает приведенные уравнения этого подмно-
гообразия.

    2.2. Другие специальные векторные функции.

  Рассмотрим некоторые специальные в. ф. и найдем их аналитические
признаки.
  Определение. Говорят, что в. ф. r : U ⊂ Em → En имеет посто-
янный модуль, если |r(u)| = const .
Теорема 3. В. ф. имеет постоянный модуль тогда и только тогда,
когда
                                  (r, dr) ≡ 0.                      (8)
                                                               p
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Дифференцируя модуль в. ф. |r| = (r, r) ,
получим формулу
                                        (r, dr)
                                d|r| =          ,
                                          |r|
откуда и следует доказательство. ¤

  Определение. В. ф., определенная в области U ⊂ Em , называет-
ся коллинеарной, если она имеет постоянное направление в простран-
стве.

Страницы