Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

4
Пусть {p
α
}, (α = 1, 2, . . . , m) — базис пространства E
m
и h = h
α
p
α
.
Тогда, учитывая линейность дифференциала по h , его координатное
представление можно записать так dr(u, h) = dr(u, p
α
)h
α
. Коэффици-
енты этого выражения суть векторные функции, для которых приняты
обозначения
dr(u, p
α
) := ∂
α
r(u) =
∂r
∂u
α
. (3)
Они называются частными производными в. ф. В силу (2) координаты
производных равны ∂
α
r(u) = ∂
α
x
i
(u)e
i
, так что в итоге
dr(u, h) = h
α
∂
α
x
i
(u)e
i
. (4)
Если, в частности, вектор h задает фиксированное направление в про-
странстве, то это выражение называют производной в направлении век-
тора h .
Отмеченные выше свойства дифференциала, очевидно, переносятся на
свойства производных. Для этого достаточно в соответствующих равен-
ствах положить h = p
α
. Например, при дифференцировании скаляр-
ного произведения имеем
∂
α
(r
1
, r
2
) = (∂
α
r
1
, r
2
) + (r
1
, ∂
α
r
2
).
При n = 3 аналогичное правило имеем при дифференцировании век-
торного и смешанного произведений.
ЛЕКЦИЯ 2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
2.1. Регулярные векторные функции.
Пусть dr — дифференциал векторной функции . Составим из его ко-
ординат (4) прямоугольную (m × n) -матрицу
J =
∂
1
x
1
. . . ∂
m
x
1
. . . . . . . . .
∂
1
x
n
. . . ∂
m
x
n
. (5)
Она называется якобиевой матрицей векторной функции.
Определение. В. ф. называется регулярной в точке u , если ранг r
ее якобиевой матрицы в этой точке максимален: rankJ = max{m, n}.
В. ф. называется регулярной в области, если она регулярна в каждой
точке этой области.
Точки, в которых ранг в. ф. не достигает максимального значения, на-
зываются ее критическими точками.
4

  Пусть {pα } , (α = 1, 2, . . . , m) — базис пространства Em и h = hα pα .
Тогда, учитывая линейность дифференциала по h , его координатное
представление можно записать так dr(u, h) = dr(u, pα )hα . Коэффици-
енты этого выражения суть векторные функции, для которых приняты
обозначения
                                                  ∂r
                        dr(u, pα ) := ∂α r(u) = α .                    (3)
                                                 ∂u
Они называются частными производными в. ф. В силу (2) координаты
производных равны ∂α r(u) = ∂α xi (u)ei , так что в итоге
                           dr(u, h) = hα ∂α xi (u)ei .                  (4)
Если, в частности, вектор h задает фиксированное направление в про-
странстве, то это выражение называют производной в направлении век-
тора h .
  Отмеченные выше свойства дифференциала, очевидно, переносятся на
свойства производных. Для этого достаточно в соответствующих равен-
ствах положить h = pα . Например, при дифференцировании скаляр-
ного произведения имеем
                    ∂α (r1 , r2 ) = (∂α r1 , r2 ) + (r1 , ∂α r2 ).
При n = 3 аналогичное правило имеем при дифференцировании век-
торного и смешанного произведений.

      ЛЕКЦИЯ 2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ

    2.1. Регулярные векторные функции.

  Пусть dr — дифференциал векторной функции . Составим из его ко-
ординат (4) прямоугольную (m × n) -матрицу
                                            
                           ∂1 x1 . . . ∂m x1
                     J =  ... ... ... .                     (5)
                               n           n
                           ∂1 x . . . ∂m x
Она называется якобиевой матрицей векторной функции.
  Определение. В. ф. называется регулярной в точке u , если ранг r
ее якобиевой матрицы в этой точке максимален: rankJ = max{m, n} .
В. ф. называется регулярной в области, если она регулярна в каждой
точке этой области.
Точки, в которых ранг в. ф. не достигает максимального значения, на-
зываются ее критическими точками.

Страницы