Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 11 стр.

                                                                      5

  Определение. Точка x ∈ En называется регулярным значением отоб-
ражения r : U → En , если она регулярна в каждой точке прообраза
r−1 (x) ⊂ Em .
  Пусть в. ф. регулярна в точке u0 . Тогда возможны следующие случаи:

          1) m = n = r;   2) m < n, r = m;   3) m > n, r = n.

  Определение. Диффеоморфизмом называется отображение En →
En , которое взаимно однозначно (биективно) и гладко вместе со своим
обратным отображением r−1 .
Другими словами, это гомеоморфизм, гладкий в обе стороны. Ясно, что
в этом случае m = n = r при любом выборе точки u ∈ U . Верно ли
обратное? Справедлива

Теорема 1. (Об обратной функции). Пусть m = n и в. ф. r(u) регу-
лярна в точке u0 . Тогда существует такая ε -окрестность B этой
точки, что ограничение отображения на эту окрестность r|B явля-
ется диффеоморфизмом.

  Если m = n = r в области U , то в силу этой теоремы она определяет
диффеоморфное отображение в некоторой ε -окрестности каждой точки
этой области, но в каждой из этих окрестностей диффеоморфизмы могут
быть разные. Отображение в целом "склеено"из таких диффеоморфиз-
мов и называется локальным диффеоморфизмом.
  Пусть теперь m < n и в. ф. регулярна в каждой точке области опреде-
ления. Тогда соответствующее отображение называется иммерсией или
погружением, а множество значений этой функции r(u1 , . . . , um ) ⊂ En
образует некоторое подмножество M ⊂ En , которое называется подмно-
гообразием. В дальнейшем мы столкнемся с такой ситуацией при изуче-
нии кривых и поверхностей евклидова пространства. В частности, если
отображение является гомеоморфизмом на свой образ, то говорят о вло-
жении и, соответственно, о вложенном подмногообразии.
  Рассмотрим случай m > n . Если в. ф. регулярна в каждой точке
области определения, то отображение называют субмерсией.

Теорема 2. (о прообразе регулярного значения) Пусть m > n и c ∈
En — регулярное значение гладкого отображения r . Тогда прообраз
r−1 (c) ⊂ Em (если он не пуст) является вложенным подмногообразием
размерности m − n .