Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3
1.2. Дифференциал и производные векторных функций.
Рассмотрим значение в. ф. в точке u и в точках u + h некоторой ее
окрестности.
Определение. В. ф. называется дифференцируемой в точке u , если
разность ее значений в этих точках может быть представлена в виде
r(u + h) − r(u) = dr(u, h) + 0
1
(u, h), (1)
где в. ф. dr(u, h) является линейной формой по h , а вектор 0
1
(u, h)
имеет более высокий порядок малости, чем |h|, т. е.
lim
h→0
0
1
(u, h)
|h|
= 0.
Линейная форма dr(u, h) называется дифференциалом данной в. ф. в
точке u .
Аналогично определяются дифференциалы более высокого порядка.
Например, дифференциал 2-го порядка определяется соотношением
r(u + h) = r(u) + dr(u, h) +
1
2!
d
2
r(u, h, h) + 0
2
(u, h),
где d
2
r(u, h, h) есть квадратичная форма по h , а 0
2
(u, h) имеет более
высокий порядок малости, чем |h|
2
.
Определение. В. ф. называется дифференцируемой класса C
k
, если
существуют ее дифференциалы до k -го порядка.
В дальнейшем мы будем считать, что в. ф. допускают производные лю-
бого порядка или, как говорят, являются гладкими.
Займемся более подробно дифференциалом первого порядка. Отметим
его свойства, которые вытекают из соответствующих свойств предела
(аргументы опускаем):
1) d(r
1
+ r
2
) = dr
1
+ dr
2
;
2) d(λr) = dλr + λdr;
3) dc = 0 .
Обычным образом дифференцируются скалярное и векторное произве-
дения (в последнем случае с сохранением порядка сомножителей):
4) d(r
1
, r
2
) = (dr
1
, r
2
) + (r
1
, dr
2
);
5) d[r
1
, r
2
] = [dr
1
, r
2
] + [r
1
, dr
2
] .
Пусть в. ф. задана в координатах r(u) = x
i
(u)e
i
, где {e
i
} — базис в
E
n
. Дифференцируя, получим
dr(u, h) = dx
i
(u, h)e
i
. (2)
Поэтому координаты дифференциала в. ф. суть диффференциалы ее ко-
ординат.
                                                                       3

 1.2. Дифференциал и производные векторных функций.

  Рассмотрим значение в. ф. в точке u и в точках u + h некоторой ее
окрестности.
  Определение. В. ф. называется дифференцируемой в точке u , если
разность ее значений в этих точках может быть представлена в виде
                 r(u + h) − r(u) = dr(u, h) + 01 (u, h),             (1)
где в. ф. dr(u, h) является линейной формой по h , а вектор 01 (u, h)
имеет более высокий порядок малости, чем |h| , т. е.
                               01 (u, h)
                           lim           = 0.
                           h→0    |h|
Линейная форма dr(u, h) называется дифференциалом данной в. ф. в
точке u .
  Аналогично определяются дифференциалы более высокого порядка.
Например, дифференциал 2-го порядка определяется соотношением
                                             1
             r(u + h) = r(u) + dr(u, h) + d2 r(u, h, h) + 02 (u, h),
                                             2!
где d2 r(u, h, h) есть квадратичная форма по h , а 02 (u, h) имеет более
высокий порядок малости, чем |h|2 .
  Определение. В. ф. называется дифференцируемой класса C k , если
существуют ее дифференциалы до k -го порядка.
В дальнейшем мы будем считать, что в. ф. допускают производные лю-
бого порядка или, как говорят, являются гладкими.
  Займемся более подробно дифференциалом первого порядка. Отметим
его свойства, которые вытекают из соответствующих свойств предела
(аргументы опускаем):
1) d(r1 + r2 ) = dr1 + dr2 ;
2) d(λr) = dλr + λdr;
3) dc = 0 .
Обычным образом дифференцируются скалярное и векторное произве-
дения (в последнем случае с сохранением порядка сомножителей):
4) d(r1 , r2 ) = (dr1 , r2 ) + (r1 , dr2 );
5) d[r1 , r2 ] = [dr1 , r2 ] + [r1 , dr2 ] .
  Пусть в. ф. задана в координатах r(u) = xi (u)ei , где {ei } — базис в
En . Дифференцируя, получим
                         dr(u, h) = dxi (u, h)ei .                   (2)
Поэтому координаты дифференциала в. ф. суть диффференциалы ее ко-
ординат.

Страницы