Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

I. ТЕОРИЯ КРИВЫХ
Прежде, чем приступать к изучению кривых и поверхностей, мы на-
помним основные понятия математического анализа, изложив их на язы-
ке векторных функций и вводя необходимые обозначения [2], [9].
ЛЕКЦИЯ 1. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
1.1. Понятие векторной функции. Предел и непрерывность.
Мы будем иметь дело с n -мерными вещественными евклидовыми про-
странствами E
n
. При этом всякая точка A ∈ E
n
задается радиусом-
вектором x =
−→
OA относительно выбранного начала O .
Определение. Векторная функция (короче — в. ф), определенная на
подмножестве U ⊂ E
m
со значениями в E
n
— это отображение r :
U → E
n
, которое всякому вектору u ∈ U ставит в соответствие
вектор x = r(u) ⊂ E
n
.
Для векторных функций применимы обычные алгебраические опера-
ции сложения r
1
(u)+r
2
(u) и умножения на скалярную функцию λ(u)r(u) .
Скалярное произведении векторных функций (r
1
(u), r
2
(u)) , модуль век-
торной функции |r(u)| =
p
(r(u), r(u)) , а в 3-мерном случае также и
векторное произведение [r
1
(u), r
2
(u)] выполняются поточечно.
В евклидовых пространствах мы будем рассматривать стандартную
метрическую топологию, задав расстояние между точками формулой
d(x, y) = |y − x|. Напомним некоторые понятия из топологии.
Определение. Открытый шар в E
n
радиуса ε > 0 с центром x
0
— это множество B(x
0
, ε) = {x : |x − x
0
| < ε}. Оно называется
ε -окрестностью точки x
0
.
Определение. Множество U ⊂ E
n
называется открытым, если
для всякой его точки x существует ε -окрестность, содержащаяся в
U . Дополнение открытого множества есть по определению множе-
ство замкнутое.
Определение. Открытое множество называется связным, если его
нельзя представить как объединение непустых, открытых и непересе-
кающихся множеств. Открытое связное множество называют обла-
стью.
Определение. Окрестностью точки x
0
называется всякая область
U
, содержащая эту точку
.
Пусть в. ф. r(u) определена в окрестности точки u
0
, кроме, может
быть, самой этой точки.
1
                       I. ТЕОРИЯ КРИВЫХ

  Прежде, чем приступать к изучению кривых и поверхностей, мы на-
помним основные понятия математического анализа, изложив их на язы-
ке векторных функций и вводя необходимые обозначения [2], [9].

               ЛЕКЦИЯ 1. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ

 1.1. Понятие векторной функции. Предел и непрерывность.

   Мы будем иметь дело с n -мерными вещественными евклидовыми про-
странствами En . При этом всякая точка A ∈ En задается радиусом-
               −→
вектором x = OA относительно выбранного начала O .
   Определение. Векторная функция (короче — в. ф), определенная на
подмножестве U ⊂ Em со значениями в En — это отображение r :
U → En , которое всякому вектору u ∈ U ставит в соответствие
вектор x = r(u) ⊂ En .
   Для векторных функций применимы обычные алгебраические опера-
ции сложения r1 (u)+r2 (u) и умножения на скалярную функцию λ(u)r(u) .
Скалярное произведении векторных
                           p          функций (r1 (u), r2 (u)) , модуль век-
торной функции |r(u)| = (r(u), r(u)) , а в 3-мерном случае также и
векторное произведение [r1 (u), r2 (u)] выполняются поточечно.
   В евклидовых пространствах мы будем рассматривать стандартную
метрическую топологию, задав расстояние между точками формулой
d(x, y) = |y − x| . Напомним некоторые понятия из топологии.
   Определение. Открытый шар в En радиуса ε > 0 с центром x0
— это множество B(x0 , ε) = {x : |x − x0 | < ε} . Оно называется
ε -окрестностью точки x0 .
   Определение. Множество U ⊂ En называется открытым, если
для всякой его точки x существует ε -окрестность, содержащаяся в
U . Дополнение открытого множества есть по определению множе-
ство замкнутое.
   Определение. Открытое множество называется связным, если его
нельзя представить как объединение непустых, открытых и непересе-
кающихся множеств. Открытое связное множество называют обла-
стью.
   Определение. Окрестностью точки x0 называется всякая область
U , содержащая эту точку.
   Пусть в. ф. r(u) определена в окрестности точки u0 , кроме, может
быть, самой этой точки.
                                    1

Страницы