Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 8 стр.

2

  Определение. Вектор c ∈ En называется пределом в. ф. и обознача-
ется c = lim r(u) , если для любого ε > 0 существует такое δ(ε) > 0 ,
              u→u0
что
                      |u − u0 | < δ ⇒ |r(u) − c| < ε,
т.е. для любого шара B(c, ε) ⊂ En найдется шар B(u0 , δ) ⊂ U такой,
что его образ принадлежит B(c, ε) : r(B(u0 , δ)) ⊂ B(c, ε) .
   Выполняются следующие свойства предела. При u → u0
1) lim(r1 (u) + r2 (u)) = lim r1 (u) + lim r2 (u) ;
2) lim(λ(u)r(u)) = lim λ(u) lim r(u) ;
3) lim c = c ;
Отсюда следует, что lim(cr(u)) = c lim r(u) . Пределы скалярного и (при
n = 3 ) векторного произведения обладают обычными свойствами:
4) lim(r1 (u), r2 (u)) = (lim r1 (u), lim r2 (u)) ;
5) lim[r1 (u), r2 (u)] = [lim r1 (u), lim r2 (u)] .
   Определение. В. ф. r(u) , определенная в некоторой окрестности
точки u0 , называется непрерывной в этой точке, если lim r(u)u→u0 =
r(u0 ) . В. ф. называется непрерывной в области U , если она непрерыв-
на в каждой точке этой области.
Из перечисленных выше свойств предела следует, что сумма и произве-
дения непрерывных в. ф. суть непрерывные функции.
   Определение. Пусть m = n . Отображение r : U → r(U ) , опреде-
ляемое векторной функцией, называется гомеоморфным, если оно вза-
имно однозначно и в обе стороны непрерывно.
   Пусть {pα } , (i = 1, 2, . . . , m) — базис пространства Em и {ei } , (i =
1, 2, . . . , n) — базис пространства En . Тогда u = uα pα и r = xi ei .
Следовательно, в. ф. может быть представлена в координатах r(u) =
xi (u1 , . . . , um )ei . Таким образом, задание в.ф. эквивалентно заданию n
скалярных функций от m переменных
                            xi = xi (u1 , . . . , um ).
Заметим, однако, что это координатное представление в.ф. зависит от
выбора базисов.
  Из свойств предела вытекает
                          lim r(u) = lim xi (u)ei .
                         u→u0            u→u0

Отсюда получаем следующие свойства:
  1) Координаты предела в. ф. суть пределы ее координат.
  2) В. ф. непрерывна тогда и только тогда, когда ее координаты суть
непрерывные функции.