Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 13 стр.

                                                                        7

Это направление можно задать постоянным единичным вектором e и
тогда мы имеем r(u) = λ(u)e , где λ(u) 6= 0 — гладкая скалярная функ-
ция.
Теорема 4. В. ф. r(u) коллинеарна тогда и только тогда, когда при
любом u ∈ U
                             dr//r.                            (9)
  В 3-мерном пространстве это условие можно записать с помощью век-
торного произведения: [r, dr] ≡ 0 .
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Дифференцируя тождество r(u) ≡ λ(u)e ,
получим dr ≡ dλe , откуда следует необходимость условия. Обратно,
пусть dr//r. Обозначим через e(u) единичный вектор их общего на-
правления. Тогда r(u) ≡ λ(u)e(u) . Дифференцируя это тождество, по-
лучим dr ≡ dλe + λde . Но в силу теоремы (8) (e, de) ≡ 0 . Поэто-
му, умножая скалярно это тождество на de , получим новое тождество
(dr, de) ≡ λ(de)2 . Здесь, согласно условию теоремы, dr параллельно r
и, следовательно, dr ≡ µ(u)e . Поэтому левая часть второго тождества
равна нулю и значит, поскольку λ 6= 0 , имеем (de)2 ≡ 0 . Следовательно,
de ≡ 0 и e = const . ¤

  Определение. Векторная функция называется k-компланарной, ес-
ли при любом u ∈ U вектор r(u) параллелен некоторой k -плоскости
L ⊂ En .
  Следующая теорема обобщает предыдущий результат.
Теорема 5. В. ф. r(u) k -компланарна тогда и только тогда, когда
векторные функции r, dr, . . . , dk r линейно зависимы.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы докажем эту теорему лишь при n = 3 .
Итак, пусть векторная функция параллельна некоторой 2-плоскости L
в евклидовом E3 . Рассмотрим ее нормальный вектор N=const. Тогда по
условию теоремы (r(u), N) ≡ 0 . Дифференцируя это тождество, полу-
чим (dr, N) ≡ 0 , (d2 r, N) ≡ 0 . Отсюда следует, что векторы r, dr, d2 r
линейно зависимы при любом u ∈ U . Докажем достаточность условия.
Если оно выполнено и r, dr линейно независимы, то можно записать
d2 r = λ(u)r + µ(u)dr . Рассмотрим в. ф. N(u) = [r, dr] 6= 0 . Диффе-
ренцируя ее, получим dN = [r, d2 r] = µN . В силу (9) это значит, что
векторная функция N имеет постоянное направление, а так как r(u)⊥N ,
то теорема в этом случае доказана. Если же векторы r и dr линейно
зависимы, то dr = λ(u)r и, значит, векторная функция r(u) в силу
теоремы (9) имеет постоянное направление в пространстве. ¤