Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

9
ЛЕКЦИЯ 3. ТЕОРИЯ КРИВЫХ В ЕВКЛИДОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ.
3.1. Понятие кривой. Параметризованные кривые.
Рассмотрим сначала кривые в евклидовом пространстве E
n
произволь-
ной размерности. Интуитивное представление о том, что такое кривая,
дает следующее
Определение. Подмножество Γ евклидовом пространстве E
n
на-
зывается кривой, если всякая его точка x ∈ Γ обладает такой ε -
окрестностью B(x, ε) в E
n
что пересечение Γ ∩ B(x, ε) гомеоморфно
интервалу I ∈ E евклидовой прямой.
Другими словами, с топологической точки зрения кривая локально, в
окрестности всякой своей точки устроена как отрезок прямой. Однако
на практике приходится иметь дело с кривыми в более широком пони-
мании, которые не вмещаются в данное определение.
Примеры:
1) Окружность в целом не гомеоморфна отрезку прямой, но локально, в
окрестности всякой своей точки удовлетворяет этому условию.
2) Пусть на плоскости заданы две точки F
1
и F
2
, называемые фокусами,
расстояние между которыми равно 2a. Лемниската Бернулли есть мно-
жество точек плоскости, произведение расстояний которых до фокусов
постоянно и равно a
2
. Эта кривая имеет форму восьмерки. Она имеет
особую точку самопересечения, в окрестности которой кривая устроена
как крест.
Более общим и практически более употребительным является
Определение. Параметризованной кривой класса C
k
, (k ≥ 1) в ев-
клидовом E
n
называется отображение того же класса r : I ⊂ R → E
n
интервала вещественной прямой в это пространство.
Таким образом, параметризованная кривая задается векторной функ-
цией одного скалярного аргумента r = r(t) или в координатах x
i
=
x
i
(t) . Эти соотношения называются параметрическими уравнениями кри-
вой, а образ r(I) ⊂ E
n
— ее носителем. Параметризованная кривая на-
зывается регулярной, если регулярна задающая ее векторная функция,
т. е. r
0
6= 0 . Заметим, что вместе с параметризацией задается и опреде-
ленная ориентация кривой — направление, в котором параметр возрас-
тает. В аналитической механике параметризованную кривую понимают
как траекторию движения точки. При этом параметром обычно являет-
ся время. Тогда условие регулярности означает, что скорость движения
точки нигде не обращается в нуль.
                                                                     9

        ЛЕКЦИЯ 3. ТЕОРИЯ КРИВЫХ В ЕВКЛИДОВОМ
                    ПРОСТРАНСТВЕ.

 3.1. Понятие кривой. Параметризованные кривые.

   Рассмотрим сначала кривые в евклидовом пространстве En произволь-
ной размерности. Интуитивное представление о том, что такое кривая,
дает следующее
   Определение. Подмножество Γ евклидовом пространстве En на-
зывается кривой, если всякая его точка x ∈ Γ обладает такой ε -
окрестностью B(x, ε) в En что пересечение Γ ∩ B(x, ε) гомеоморфно
интервалу I ∈ E евклидовой прямой.
Другими словами, с топологической точки зрения кривая локально, в
окрестности всякой своей точки устроена как отрезок прямой. Однако
на практике приходится иметь дело с кривыми в более широком пони-
мании, которые не вмещаются в данное определение.
   Примеры:
1) Окружность в целом не гомеоморфна отрезку прямой, но локально, в
окрестности всякой своей точки удовлетворяет этому условию.
2) Пусть на плоскости заданы две точки F1 и F2 , называемые фокусами,
расстояние между которыми равно 2a . Лемниската Бернулли есть мно-
жество точек плоскости, произведение расстояний которых до фокусов
постоянно и равно a2 . Эта кривая имеет форму восьмерки. Она имеет
особую точку самопересечения, в окрестности которой кривая устроена
как крест.
   Более общим и практически более употребительным является
   Определение. Параметризованной кривой класса C k , (k ≥ 1) в ев-
клидовом En называется отображение того же класса r : I ⊂ R → En
интервала вещественной прямой в это пространство.
   Таким образом, параметризованная кривая задается векторной функ-
цией одного скалярного аргумента r = r(t) или в координатах xi =
xi (t) . Эти соотношения называются параметрическими уравнениями кри-
вой, а образ r(I) ⊂ En — ее носителем. Параметризованная кривая на-
зывается регулярной, если регулярна задающая ее векторная функция,
т. е. r0 6= 0 . Заметим, что вместе с параметризацией задается и опреде-
ленная ориентация кривой — направление, в котором параметр возрас-
тает. В аналитической механике параметризованную кривую понимают
как траекторию движения точки. При этом параметром обычно являет-
ся время. Тогда условие регулярности означает, что скорость движения
точки нигде не обращается в нуль.

Страницы