Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 22 стр.

16

  Определение. Особыми называются точки кривой, в которых gradF =
0.
Другими словами, это точки кривой, в которых отображение z = F (x, y)
не регулярно. Таким образом, для нахождения особых точек мы должны
рассмотреть систему трех уравнений с двумя неизвестными
                  F (x, y) = 0,     Fx (x, y) = 0,   Fy (x, y) = 0,         (21)
которая не всегда совместна.
  В особой точке найденное выше уравнение касательной не имеет смыс-
ла. Однако, это не значит, что ее не существует. Для того, чтобы выяс-
нить ситуацию с касательными, продифференцируем тождество Fx x0 (t)+
Fy y 0 (t) ≡ 0 еще раз, рассмотрев его затем в особой точке. Учитывая, что
в особой точке Fx0 = 0, Fy0 = 0 , получим
                        0     2                         2
                       Fxx x0 0 + 2Fxy
                                    0 0 0       0 0
                                       x0 y0 + Fyy y 0 = 0.
Если в этой точке вторые производные не все обращаются в нуль, то она
называется особой точкой первого порядка. Тогда для нахождения каса-
тельного вектора или, что удобнее, углового коэффициента касательной,
мы имеем квадратное уравнение
                            0      0       0 2
                           Fxx + 2Fxy k + Fyy k = 0.                        (22)
                                                                     0      2
Наличие касательных зависит от знака его дискриминанта ∆ = Fxy         −
  0  0
Fxx Fyy . Следовательно, возможно три случая.
  1) ∆ > 0 . В такой особой точке имеется две касательных. Она назы-
вается узловой.
  Пример. Рассмотрим кривую, заданную параметрическим уравнени-
ем x = cos t,                                                      √
y = sin 2t . Это уже знакомая нам "восьмерка". Так как y = 2 cos t 1 − cos t2 ,
то неявное уравнение этой кривой 4x2 (1 − x2 ) − y 2 = 0 . Находя частные
производные, запишем систему уравнений (21)
     F = 4x2 (1 − x2 ) − y 2 = 0,    Fx = 8x(1 − 2x2 ) = 0,     Fy = −2y = 0.
Этой системе удовлетворяет только одна точка r0 = (0, 0) — начало
координат. Вычислим вторые производные:
                   Fxx = 8(1 − 6x2 ),     Fxy = 0,    Fyy = −2 .
Их значения в особой точке равны {8, 0, – 2} соответственно, а дискри-
минант равен ∆ = 16 > 0 . Как и следовало ожидать, это узловая точка.
Решая квадратное уравнение 4 − k 2 = 0 , получим следующие значе-
ния угловых коэффициентов касательных: k1,2 = ±2 . Следовательно,
уравнения касательных в этой особой точке y = ±2x .