Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

34
Осталось найти |
˙
t|. Но так как |
˙
r| = |r
0
||
˙
t|, то |
˙
t| =
1
|r
0
|
. Итак, оконча-
тельно имеем
k(t) =
|[r
0
, r
00
]|
|r
0
|
3
, q(t) =
(r
0
, r
00
, r
000
)
[r
0
, r
00
]
2
. (38)
8.4. Строение кривой в окрестности данной точки.
Теперь наша задача состоит в том, чтобы выяснить, каким образом
кривизна и кручение влияют на локальное строение кривой в окрест-
ности данной точки. Отнесем кривую Γ к натуральному параметру и
рассмотрим на ней точку s = 0 . Сопровождающий репер определяет в
этой точке прямоугольную систему координат (x, y, z) с направляющи-
ми ортами e, n, b соответственно. Разложим векторную функцию r(s)
в окрестности начальной точки в ряд Тейлора. С точностью до малых
третьего порядка
r(s) = r(0) + (
˙
r(0))s +
1
2
(
¨
r(0))s
2
+
1
3!
(
...
r (0))s
3
.
Но из формул Френе мы имеем
˙
r = e ,
¨
r = kn ,
...
r = −k
2
e +
˙
kn + kqb .
Подставляя эти выражения в предыдущее разложение и полагая r(s) =
x(s)e + y(s)n + z(s)b , получим
x = s −
1
6
k
2
s
3
, y =
1
2
ks
2
+
1
6
˙
ks
3
, z =
1
6
kqs
3
(39)
Это прямоугольные координаты векторной функции r(s) относительно
сопровождающего репера в точке s = 0 . Здесь k и q суть значения
кривизны и кручения в начальной точке. Ограничиваясь лишь первыми
членами, будем иметь
x = s , y =
1
2
ks
2
, z =
1
6
kqs
3
.
Это уравнения аппроксимируют параметрические уравнения нашей кри-
вой в окрестности начальной точки. Для того, чтобы понять, как ведет
себя кривая, рассмотрим ее проекции на координатные плоскости.
1) Проекция на соприкасающуюся плоскость {x, y} имеет вид
x = s , y =
1
2
ks
2
.
Исключая параметр, получим уравнение параболы
y
=
1
2
kx
2
. Так как
k ≥ 0 , то своей вогнутостью она обращена в сторону вектора главной
нормали n , а степень этой вогнутости пропорциональна кривизне.
34

Осталось найти |ṫ| . Но так как |ṙ| = |r0 ||ṫ| , то |ṫ| = |r10 | . Итак, оконча-
тельно имеем
                          |[r0 , r00 ]|          (r0 , r00 , r000 )
                  k(t) =                , q(t) =                    .           (38)
                            |r0 |3                 [r0 , r00 ]2

     8.4. Строение кривой в окрестности данной точки.

  Теперь наша задача состоит в том, чтобы выяснить, каким образом
кривизна и кручение влияют на локальное строение кривой в окрест-
ности данной точки. Отнесем кривую Γ к натуральному параметру и
рассмотрим на ней точку s = 0 . Сопровождающий репер определяет в
этой точке прямоугольную систему координат (x, y, z) с направляющи-
ми ортами e, n, b соответственно. Разложим векторную функцию r(s)
в окрестности начальной точки в ряд Тейлора. С точностью до малых
третьего порядка
                                       1             1 ...
            r(s) = r(0) + (ṙ(0))s + (r̈(0))s2 + ( r (0))s3 .
                                       2             3!
Но из формул Френе мы имеем
                                   ...
                 ṙ = e , r̈ = kn , r = −k 2 e + k̇n + kqb .
Подставляя эти выражения в предыдущее разложение и полагая r(s) =
x(s)e + y(s)n + z(s)b , получим
                        1           1      1        1
               x = s − k 2 s3 , y = ks2 + k̇s3 , z = kqs3       (39)
                        6           2      6        6
Это прямоугольные координаты векторной функции r(s) относительно
сопровождающего репера в точке s = 0 . Здесь k и q суть значения
кривизны и кручения в начальной точке. Ограничиваясь лишь первыми
членами, будем иметь
                                   1         1
                       x = s , y = ks2 , z = kqs3 .
                                   2         6
Это уравнения аппроксимируют параметрические уравнения нашей кри-
вой в окрестности начальной точки. Для того, чтобы понять, как ведет
себя кривая, рассмотрим ее проекции на координатные плоскости.
  1) Проекция на соприкасающуюся плоскость {x, y} имеет вид
                                        1
                             x = s , y = ks2 .
                                        2
Исключая параметр, получим уравнение параболы y = 12 kx2 . Так как
k ≥ 0 , то своей вогнутостью она обращена в сторону вектора главной
нормали n , а степень этой вогнутости пропорциональна кривизне.

Страницы