Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Лекция 9. ТЕНЗОРЫ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.
9.1. Понятие тензора. Компоненты тензора и закон их преобразования.
Прежде, чем начать изучение теории поверхностей, а затем и теории многообразий,
нам необходимо познакомимся с тензорами и с основными тензорными операциями.
Начнем с тензоров частного вида — ковариантных тензоров.
Определение.Пусть V — векторное пространство размерности m . Ковари-
антным тензором валентности q на V , где q ≥ 0 — целое неотрицательное
число, называется полилинейная функция T = T (a
1
, a
2
, . . . , a
q
) от q векторных
аргументов.
Таким образом, на каждом наборе векторов a
i
∈ V , (i = 1, 2, . . . , q) мы полу-
чаем некоторое число. Полилинейность этой функции означает, что она линейна по
каждому аргументу. При q = 0 тензор по определению является числом (скаляром).
Вследствие полилинейности тензор достаточно задать на базисе {e
i
} пространства
V . Значения тензора на наборе базисных векторов
T
i
1
i
2
...i
q
= T (e
i
1
, e
i
2
, . . . , e
i
q
), (1 ≤ i
s
≤ m) (1)
называются компонентами тензора в этом базисе. Это m
q
чисел. Тогда его значения
на произвольных аргументах равны
T (a
1
, . . . , a
q
) = T (a
i
1
1
e
i
1
, . . . , a
i
q
q
e
i
q
) = T
i
1
...i
q
a
i
1
1
. . . a
i
q
q
.
Здесь всюду по повторяющимся индексам предполагается суммирование от 1 до m
(правило Эйнштейна). При этом надо иметь ввиду, что если мы выберем другой
базис, векторы которого обозначим штрихованными индексами e
i
0
, то изменятся
и компоненты тензора. Найдем закон их преобразования. Пусть e
i
0
= A
i
i
0
e
i
, где
det(A
i
i
0
) 6= 0 . Тогда, используя полилинейность тензора, получим
T
i
0
1
...i
0
q
= T
i
1
...i
q
A
i
1
i
0
1
. . . A
i
q
i
0
q
. (2)
Такой закон преобразования совокупности чисел называется тензорным. Векторное
пространство V , а значит и компоненты тензора, в дальнейшем будут считаться
вещественными.
Примеры.
1) Если q = 1 , мы имеем линейную форму T (a) = T
i
a
i
. Она называется также
ковектором. Закон преобразования его компонент T
i
0
= T
i
A
i
i
0
. Обратим внимание на
то, что он отличен от закона преобразования координат вектора.
2) При q = 2 имеем билинейную форму T (a, b) = T
ij
a
i
b
j
. Примером являет-
ся скалярное произведение векторов (a, b) . Этот тензор называется метрическим
и в координатах представляется в виде (a, b) = g
ij
a
i
b
j
. Он обладает свойствами
симметрии, невырожденности матрицы (g
ij
) и положительной определенности соот-
ветствующей квадратичной формы.
Нам понадобится и более общее понятие тензора. Для этого наряду с V рассмот-
рим сопряженное векторное (ковекторное) пространство V
∗
. Напомним, что оно
образовано множеством всех линейных форм на V (ковекторов) с линейными опе-
рациями
(ξ + η)(a) = ξ(a) + η(a), (λξ)(a) = λξ(a), λ ∈ R
и имеет ту же самую размерность m . Если {e
i
} — базис в V , то базис сопряженного
пространства (кобазис) образован линейными формами {e
i
}, номера которых будем
1
                            II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

  Лекция 9. ТЕНЗОРЫ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.

  9.1. Понятие тензора. Компоненты тензора и закон их преобразования.

  Прежде, чем начать изучение теории поверхностей, а затем и теории многообразий,
нам необходимо познакомимся с тензорами и с основными тензорными операциями.
Начнем с тензоров частного вида — ковариантных тензоров.
  Определение.Пусть V — векторное пространство размерности m . Ковари-
антным тензором валентности q на V , где q ≥ 0 — целое неотрицательное
число, называется полилинейная функция T = T (a1 , a2 , . . . , aq ) от q векторных
аргументов.
  Таким образом, на каждом наборе векторов ai ∈ V , (i = 1, 2, . . . , q) мы полу-
чаем некоторое число. Полилинейность этой функции означает, что она линейна по
каждому аргументу. При q = 0 тензор по определению является числом (скаляром).
  Вследствие полилинейности тензор достаточно задать на базисе {ei } пространства
V . Значения тензора на наборе базисных векторов
                       Ti1 i2 ...iq = T (ei1 , ei2 , . . . , eiq ),        (1 ≤ is ≤ m)                 (1)
                                                                                    q
называются компонентами тензора в этом базисе. Это m чисел. Тогда его значения
на произвольных аргументах равны
                T (a1 , . . . , aq ) = T (ai11 ei1 , . . . , aiqq eiq ) = Ti1 ...iq ai11 . . . aiqq .
Здесь всюду по повторяющимся индексам предполагается суммирование от 1 до m
(правило Эйнштейна). При этом надо иметь ввиду, что если мы выберем другой
базис, векторы которого обозначим штрихованными индексами ei0 , то изменятся
и компоненты тензора. Найдем закон их преобразования. Пусть ei0 = Aii0 ei , где
det(Aii0 ) 6= 0 . Тогда, используя полилинейность тензора, получим
                                                                            i
                                      Ti01 ...i0q = Ti1 ...iq Aii10 . . . Aiq0q .                       (2)
                                                                  1

Такой закон преобразования совокупности чисел называется тензорным. Векторное
пространство V , а значит и компоненты тензора, в дальнейшем будут считаться
вещественными.
  Примеры.
  1) Если q = 1 , мы имеем линейную форму T (a) = Ti ai . Она называется также
ковектором. Закон преобразования его компонент Ti0 = Ti Aii0 . Обратим внимание на
то, что он отличен от закона преобразования координат вектора.
  2) При q = 2 имеем билинейную форму T (a, b) = Tij ai bj . Примером являет-
ся скалярное произведение векторов (a, b) . Этот тензор называется метрическим
и в координатах представляется в виде (a, b) = gij ai bj . Он обладает свойствами
симметрии, невырожденности матрицы (gij ) и положительной определенности соот-
ветствующей квадратичной формы.
  Нам понадобится и более общее понятие тензора. Для этого наряду с V рассмот-
рим сопряженное векторное (ковекторное) пространство V∗ . Напомним, что оно
образовано множеством всех линейных форм на V (ковекторов) с линейными опе-
рациями
                 (ξ + η)(a) = ξ(a) + η(a), (λξ)(a) = λξ(a), λ ∈ R
и имеет ту же самую размерность m . Если {ei } — базис в V , то базис сопряженного
пространства (кобазис) образован линейными формами {ei } , номера которых будем
                                                          1

Страницы