Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 44 стр.

                                                                                3

  2) В частности, тензор δ(ξ, a) = ξ(a) соответствует тождественному оператору с
единичной матрицей E = (δij ) . Он называется тензором Кронекера. Его компонен-
ты δji равны единице или нулю, в зависимости от того, совпадают или различны его
индексы. Отсюда вытекает важное свойство поглощения этого тензора при сверты-
                                       i k     i
вании с другим тензором. Например, Tjk  δm = Tjm .
  3) Смешанное произведение векторов ε = (a, b, c) в 3-мерном евклидовом про-
странстве линейно по всем своим сомножителям и поэтому есть тензор валентно-
сти (0, 3) . Это кососимметричный тензор, ибо при любой транспозиции векторов
он изменяет знак. Этот тензор имеет только одну существенную компоненту ε123 =
(e1 , e2 , e3 ) .

  9.2. Основные тензорные операции.

  Существует ряд операций с тензорами, приводящих снова к тензорным величинам.
Простейшими среди них являются две линейные операции.
  1) Сложение тензоров. Пусть T и S — тензоры одинаковой валентности, напри-
мер p = 1, q = 2 . Их сумма определяется формулой
                     (T + S)(ξ, a, b) = T (ξ, a, b) + S(ξ, a, b).
Легко видеть, что T +S есть тензор той же валентности. В координатах это выглядит
так
                               (T + S)kij = Tijk + Sijk .
  2) Умножение тензора на число определяется формулой
                            (λT )(ξ, a, b) = λT (ξ, a, b)
или в координатах
                                       (λT )kij = λTijk .
Это тензор той же валентности. Эти две операции обладают обычными свойствами
линейных операций.
  3) Умножение тензоров. Пусть T — тензор валентности (p1 , q1 ) и S — тензор
валентности (p2 , q2 ) . Перемножая их как функции, получим новую функцию T ⊗ S
(знак тензорного умножения) от p1 +p2 ковекторных и q1 +q2 векторных аргументов.
Например,
                          (T ⊗ S)(ξ, a, b, η, c) = T (ξ, a, b)S(η, c).
Нетрудно видеть, что эта функция обладает свойством линейности по всем своим
аргументам и, следовательно, является тензором. Подставляя сюда базисные векто-
ры, мы увидим, что в координатах дело сводится к перемножению координат этих
тензоров
                                         lm
                                       Kijk  = Tijl Skm .
Очевидно, тензорное произведение линейно по каждому сомножителю и ассоциатив-
но: (T ⊗ S) ⊗ K = T ⊗ (S ⊗ K) . Но оно не коммутативно, поскольку тензор S ⊗ T
имеет другое расположение аргументов. В частности, если S — скаляр, то получим
уже рассмотренную выше вторую линейную операцию.
  4)Свертывание тензора. Эта операция применяется к смешанным тензорам, кото-
рые имеют оба типа аргументов. Выберем какую либо пару из них, подставим вместо
этих аргументов базисные векторы и просуммируем по их номерам. Например, для
тензора T (ξ, a, b)
                                   S(b) = T (ek , ek , b).