Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

5
Лекция 10. ТЕНЗОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
10.1. Опускание и поднятие индекса.
Евклидово векторное пространство E = E
m
характеризуется тем, что в нем за-
дано скалярное произведение g(a, b) := (a, b) — симметричный и невырожденный
тензор второй валентности с компонентами g
ij
= (e
i
, e
j
) . Это обстоятельство позво-
ляет определить линейный изоморфизм векторного пространства E на сопряженное
ему ковекторное пространство E
∗
следующим образом. Каждому вектору a поста-
вим в соответствие линейную форму (ковектор) ξ
a
= ϕ(a) , значение которой на
произвольном векторе b равно
ξ
a
(b) = (a, b). (7)
Теорема 3. Отображение ϕ : E → E
∗
является изометрией.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Линейность этого отображения очевидна в силу линей-
ности по a скалярного произведения. Более того, если ξ
a
(b) = 0 , то (a, b) = 0 при
произвольном b , откуда a = 0 . Поэтому отображение биективно и, следовательно,
является линейным изоморфизмом. Этот изоморфизм позволяет определить в E
∗
скалярное произведение: если ξ = ϕ(a) и η = ϕ(b) – два ковектора, то положим
(ϕ(a), ϕ(b)) = (a, b),
так что E
∗
превращается в евклидово векторное пространство, изометричное исход-
ному. ¤
Теорема 4. Если {e
i
} и {e
i
} — сопряженные базисы в E и E
∗
, то ϕ(e
i
) = g
ij
e
j
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим образы базисных векторов e
i
— ковекторы
ϕ(e
i
) . Разложив их по базису сопряженного пространства, получим ϕ(e
i
) = λ
ij
e
j
. По
определению λ
ij
e
j
(b) = (e
i
, b) . Положив здесь b = e
k
и учитывая сопряженность
базисов, получим λ
ik
= g
ik
, что доказывает утверждение. ¤
Запишем отображение ϕ в координатах, положив в формуле (7) b = e
j
. Полу-
чим ξ(e
j
) = ξ
j
= (a, e
j
) = g
ij
a
i
. Координаты ковектора ξ обычно обозначают той
же буквой, что и соответствующий ему вектор, но с нижним индексом. При этом
соглашении наше отображение запишется в виде
a
j
= g
ij
a
i
. (8)
По этой причине рассматриваемый изоморфизм E → E
∗
называют опусканием ин-
декса. Для того, чтобы записать обратное отображение a = ϕ
−1
(ξ) , надо разрешить
систему (8) относительно координат a
i
. Делается это следующим стандартным об-
разом. Рассмотрим матрицу (g
ij
) , обратную к матрице метрического тензора, обо-
значив ее элементы верхними индексами. Так как g
ij
g
jk
= δ
k
i
, то умножая равенство
(8) на компоненты g
jk
и производя затем свертывание, получим
a
k
= a
j
g
jk
. (9)
Это отображение называется поднятием индекса.
Операции опускания и поднятия индекса естественным образом обобщаются на
произвольные тензоры. Покажем это на примере тензора T (a, b, ξ) валентности
(1, 2) . Пусть ковектору ξ соответствует вектор c : ξ
c
= ϕ(c) . Подставив, получим
функцию T
∗
(a, b, c) = T (a, b, ϕ(c)) , которая полилинейна по всем своим векторным
аргументам и, следовательно, является ковариантным тензором валентности (0, 3) .

Страницы