Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 61 стр.

20

               ЛЕКЦИЯ 14. ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

     14.1. Отображение поверхностей и его дифференциал.

  Пусть M и M ∗ — две гладкие регулярно параметризованные поверхности в ев-
клидовом пространстве с уравнениями
                            r = r(u, v),      r∗ = r∗ (u∗ , v ∗ ).
Всякое отображение f : M → M ∗ точке (u, v) ∈ M ставит в соответствие точку
(u∗ , v ∗ ) ∈ M ∗ и локально, в выбранных параметризациях записывается в виде (далее
мы применяем индексные обозначения u = u1 , v = u2 )
                                  f : u∗i = f i (uj ).                          (27)
Отображение f называется гладким, если гладки представляющие его функции
f i (u1 , u2 ) .
    Задача. Покажите, что гладкость отображения не зависит от выбора пара-
метризаций поверхностей.
    Примеры.
    1) Стереографическим называется отображение сферы S 2 с фиксированной точ-
кой (полюсом) N ∈ S 2 , которое всякой точке сферы A 6= N ставит в соответ-
ствие точку пересечения прямой N A c плоскостью π , не проходящей через полюс.
Выберем для простоты сферу единичного радиуса с центром в начале координат,
полюс N (0, 0, 1) на оси Z и в качестве плоскости π плоскость XY . Тогда для точ-
                            −−→
ки A(x, y, z) сферы имеем N A = (x, y, z − 1) , а уравнение прямой N A имеет вид
X = (t + 1)x, Y = (t + 1)y, Z = z + t(z − 1) . Точка ее пересечения с плоскостью
                                                 z                            x
Z = 0 соответствует значению параметра t = 1−z      и имеет координаты X = 1−z  ,
          y
Y = 1−z . Учитывая, что точка A принадлежит сфере и выбирая на ней, например,
географические координаты, получим
                              cos θ cos ϕ               cos θ sin ϕ
                         X=               ,     Y =                 .
                               1 − sin θ                 1 − sin θ
В области S 2 \ N отображение (θ, ϕ) → (X, Y ) является диффеоморфизмом.
  2) Рассмотрим гладкую регулярно параметризованную поверхность M и сферу
единичного радиуса. В точке A ∈ M рассмотрим единичный вектор нормали m и
поставим этой точке в соответствие точку сферы A∗ ∈ S 2 , определяемую радиусом-
вектором m . Мы получим гладкое отображение M → S 2 , определяемое формулой
                                                [r1 , r2 ]
                                 m(u.v) =                   .
                                               |[r1 , r2 ]|
Оно называется сферическим отображением поверхности M . Например, 1-полост-
ному гиперболоиду вращения соответствует на сфере полоса, ограниченная двумя па-
раллелями, симметричными относительно экваториальной плоскости. Ширина этой
полосы зависит, как легко видеть, от асимптотического конуса гиперболоида. Дру-
гой пример — сферическое отображение цилиндрической поверхности имеет своим
образом кривую на сфере, поскольку в этом случае вектор m , не изменяясь вдоль
прямолинейных образующих цилиндра, зависит лишь от одного параметра. Такая
же картина имеет место и для любой развертывающейся поверхности.
  Справедлива