Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 64 стр.

                                                                               23

область 0 < x < π2 , 0 < y < 1 плоскости. Значит, эти поверхности изометричны.
Более того, очевидно, цилиндр наложим на плоскость.
  Возникает вопрос, какие вообще поверхности наложимы на плоскость? Оказыва-
ется, имеет место [2]
Теорема 14. Поверхность наложима на плоскость тогда и только тогда, когда
она является развертывающейся.
  К этому классу поверхностей относятся цилиндрические и конические поверхно-
сти, а также поверхности касательных пространственной кривой. Утверждение тео-
ремы мы оставим без доказательства.
  14.3. Понятие о внутренней геометрии поверхности.
  К.Ф. Гаусс в 1828 г. среди всех свойств поверхности выделил те, которые зависят
только от ее первой фундаментальной формы. Совокупность таких свойств обра-
зуют ее внутреннюю геометрию. Отсюда следует, что изометричные (в частности,
наложимые) поверхности имеют одинаковую внутреннюю геометрию. В частности,
внутренняя геометрия поверхности не изменяется при ее изгибании. Например, внут-
ренняя геометрия развертывающихся поверхностей (и только их!) совпадает с внут-
ренней геометрии плоскости.
  Учитывая полученные нами результаты, отметим некоторые из свойств, принад-
лежащих внутренней геометрии поверхности.
1) Длина дуги пути на поверхности.
2) Угол между двумя путями в точке их пересечения.
3) Площадь области на поверхности, ограниченной кусочно-гладким замкнутым пу-
тем.
  В дальнейшем мы найдем и другие свойства поверхности, которые относятся к ее
внутренней геометрии.