Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

27
Лекция 16. НОРМАЛЬНАЯ КРИВИЗНА
16.1. Нормальная кривизна.
Пусть Γ — бирегулярный путь на поверхности, u
i
= u
i
(s) — его внутренние урав-
нения, отнесенные к натуральному параметру, и r(s) = r(u
i
(s)) — радиус-вектор
этого пути. Касательный вектор
˙
r лежит в касательной плоскости T
A
M . Рассмот-
рим вектор кривизны
¨
r = k(s)n . Как мы знаем, вместе с касательным вектором он
определяет соприкасающуюся плоскость Π пути (п. 7.2). Изучим вопрос о взаимном
расположении соприкасающейся и касательной плоскостей в точках пути и выясним,
как это влияет на его свойства.
Определение. Нормальной кривизной пути на поверхности называется орто-
гональная проекция его вектора кривизны на нормаль к поверхности: k
n
= pr
m
¨
r .
Следовательно, эта проекция равна
k
n
= (m,
¨
r). (37)
Обратная величина R
n
=
1
k
n
называется радиусом нормальной кривизны.
Найдем формулу для вычисления нормальной кривизны в координатах. Имеем
˙
r = r
i
˙u
i
,
¨
r = r
ij
˙u
i
˙u
j
+ r
i
¨u
i
.
Тогда из (37), учитывая, что (m, r
i
) = 0 , получим
k
n
= (m, r
ij
) ˙u
i
˙u
j
= h
ij
(u
k
)
du
i
ds
du
j
ds
. (38)
Из полученных формул вытекает важный вывод: нормальная кривизна зависит
лишь от точки поверхности и направления касательной в этой точке. Значит, все
пути, проходящие через ту же точку и имеющие общую касательную имеют одну
и ту же нормальную кривизну. Поэтому, отвлекаясь от исходного пути, мы можем
в данной точке задать произвольный единичный вектор в касательной плоскости
e ∈ T
A
M и тогда
k
n
(e) = h(e, e). (39)
Эта формула задает значения нормальной кривизны в данной точке в зависимости
от направления в касательной плоскости.
16.2. Теорема Менье.
Итак, все пути, проходящие через данную точку в заданном направлении имеют
одну и ту же нормальную кривизну. Мы можем ограничиться лишь плоскими путя-
ми. Последние получим так. Возьмем прямую в касательной плоскости T
A
M , прохо-
дящую через точку A с направляющим вектором e и рассмотрим пучок плоскостей
{Π}, осью которого является данная прямая. Пересекая ими поверхность, получим
пучок плоских путей {Γ}, для которых секущие плоскости являются соприкасаю-
щимися. Все эти сечения имеют одну и ту же нормальную кривизну (39). Среди них
выделим нормальное сечение Π
0
, проходящее через нормаль к поверхности. Оно со-
держит векторы e и m , причем для определенности ориентируем поверхность так,
чтобы вектор нормали m был направлен в сторону вогнутости сечения и тогда он
совпадет с единичным вектором n главной нормали пути Γ
0
.
С другой стороны, каждое плоское сечение имеют некоторую кривизну k(s) > 0
в точке A и соответствующий центр кривизны. Для того, чтобы установить связь
                                                                              27

                    Лекция 16. НОРМАЛЬНАЯ КРИВИЗНА

16.1. Нормальная кривизна.

  Пусть Γ — бирегулярный путь на поверхности, ui = ui (s) — его внутренние урав-
нения, отнесенные к натуральному параметру, и r(s) = r(ui (s)) — радиус-вектор
этого пути. Касательный вектор ṙ лежит в касательной плоскости TA M . Рассмот-
рим вектор кривизны r̈ = k(s)n . Как мы знаем, вместе с касательным вектором он
определяет соприкасающуюся плоскость Π пути (п. 7.2). Изучим вопрос о взаимном
расположении соприкасающейся и касательной плоскостей в точках пути и выясним,
как это влияет на его свойства.
  Определение. Нормальной кривизной пути на поверхности называется орто-
гональная проекция его вектора кривизны на нормаль к поверхности: kn = prm r̈ .
Следовательно, эта проекция равна
                                            kn = (m, r̈).                   (37)

Обратная величина Rn = k1n называется радиусом нормальной кривизны.
 Найдем формулу для вычисления нормальной кривизны в координатах. Имеем
                            ṙ = ri u̇i ,     r̈ = rij u̇i u̇j + ri üi .
Тогда из (37), учитывая, что (m, ri ) = 0 , получим
                                                  dui duj
                         kn = (m, rij )u̇i u̇j = hij (uk ).              (38)
                                                  ds ds
  Из полученных формул вытекает важный вывод: нормальная кривизна зависит
лишь от точки поверхности и направления касательной в этой точке. Значит, все
пути, проходящие через ту же точку и имеющие общую касательную имеют одну
и ту же нормальную кривизну. Поэтому, отвлекаясь от исходного пути, мы можем
в данной точке задать произвольный единичный вектор в касательной плоскости
e ∈ TA M и тогда
                                kn (e) = h(e, e).                        (39)
Эта формула задает значения нормальной кривизны в данной точке в зависимости
от направления в касательной плоскости.

  16.2. Теорема Менье.

  Итак, все пути, проходящие через данную точку в заданном направлении имеют
одну и ту же нормальную кривизну. Мы можем ограничиться лишь плоскими путя-
ми. Последние получим так. Возьмем прямую в касательной плоскости TA M , прохо-
дящую через точку A с направляющим вектором e и рассмотрим пучок плоскостей
{Π} , осью которого является данная прямая. Пересекая ими поверхность, получим
пучок плоских путей {Γ} , для которых секущие плоскости являются соприкасаю-
щимися. Все эти сечения имеют одну и ту же нормальную кривизну (39). Среди них
выделим нормальное сечение Π0 , проходящее через нормаль к поверхности. Оно со-
держит векторы e и m , причем для определенности ориентируем поверхность так,
чтобы вектор нормали m был направлен в сторону вогнутости сечения и тогда он
совпадет с единичным вектором n главной нормали пути Γ0 .
  С другой стороны, каждое плоское сечение имеют некоторую кривизну k(s) > 0
в точке A и соответствующий центр кривизны. Для того, чтобы установить связь

Страницы