Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

29
Рассмотрим случаи, которые здесь могут представиться.
1) k
1
6= k
2
. В этом случае собственные векторы ортогональны. Действительно,
так как оператор Вейнгартена самосопряженный, то (W p
1
, p
2
) = (p
1
, W p
2
) . Отсюда
следует (k
1
− k
2
)(p
1
, p
2
) = 0 и поэтому (p
1
, p
2
) = 0 .
2) k
1
= k
2
6= 0 . Этот случай возникает, если в данной точке поверхности K = H
2
.
Такая точка называется сферической или омбилической, а любое направление в ней
является главным. В самом деле, пусть p
1
, p
2
— два линейно независимых соб-
ственных вектора, соответствующих главной кривизне k = k
1
= k
2
. Рассмотрим
произвольный вектор a = αp
1
+ βp
2
в касательной плоскости этой точки. Тогда
W a = k(αp
1
+ βp
2
) = ka , т. е. оператор Вейнгартена является гомотетией касатель-
ной плоскости.
3) Если одна из главных кривизн равна нулю, то соответствующий собственный
вектор удовлетворяет условию W p = 0 . Задаваемое им направление называется
асимптотическими. В этом случае мы имеем (W p, p) = h(p, p) = 0 .
4) Если же k
1
= k
2
= 0 , то W (a) = −dm(a) = 0 для любого вектора a ∈ T
A
M
и, значит, m = const . Следовательно, поверхность является либо плоскостью, либо
частью плоскости.
Примеры.
1) Рассматривая оператор Вейнгартена на сфере (лекц. 15, пр. 1), мы видели, что
на ней в каждой точке реализуется второй случай. Обратно, можно показать, что
если в каждой точке поверхности ненулевые главные кривизны совпадают, то эта
поверхность есть либо сфера, либо область сферы.
2) Для геликоида матрицу оператора Вейнгартена мы уже вычислили (лекц. 15,
пр. 2)
W =
Ã
0 −
a
(u
2
+a
2
)
3/2
−
a
(u
2
+a
2
)
1/2
0
!
.
Характеристическое уравнение имеет вид λ
2
−
a
2
(u
2
+a
2
)
= 0 . Значит, главные кривизны
равны k
1,2
= ±
a
u
2
+a
2
.
16.4. Средняя и гауссова кривизны.
Обратимся теперь к коэффициентам характеристического уравнения (43). По тео-
реме Виета 2H = k
1
+ k
2
, K = k
1
k
2
. С другой стороны, эти коэффициенты можно
вычислить непосредственно через компоненты оператора Вейнгартена
2H = trW = W
1
1
+ W
2
2
, K = detW. (44)
Величина 2H называется средней кривизной, а K — гауссовой или полной кривизной
поверхности.
Гауссову, среднюю и главные кривизны можно найти непосредственно с помощью
первой и второй фундаментальных форм. Связь между оператором Вейнгартена и
второй фундаментальной формой определяется формулой (35). Если поэтому вектор
a имеет главное направление, то в силу (41)
h(a, b) − λ(a, b) = 0.
Запишем это условие в координатах и учтем, что оно должно выполняться при лю-
бом выборе вектора b . В результате получим систему двух линейных однородных
уравнений для координат вектора a
(h
ij
− λg
ij
)a
i
= 0. (45)
                                                                                   29

   Рассмотрим случаи, которые здесь могут представиться.
   1) k1 6= k2 . В этом случае собственные векторы ортогональны. Действительно,
так как оператор Вейнгартена самосопряженный, то (W p1 , p2 ) = (p1 , W p2 ) . Отсюда
следует (k1 − k2 )(p1 , p2 ) = 0 и поэтому (p1 , p2 ) = 0 .
   2) k1 = k2 6= 0 . Этот случай возникает, если в данной точке поверхности K = H 2 .
Такая точка называется сферической или омбилической, а любое направление в ней
является главным. В самом деле, пусть p1 , p2 — два линейно независимых соб-
ственных вектора, соответствующих главной кривизне k = k1 = k2 . Рассмотрим
произвольный вектор a = αp1 + βp2 в касательной плоскости этой точки. Тогда
W a = k(αp1 + βp2 ) = ka , т. е. оператор Вейнгартена является гомотетией касатель-
ной плоскости.
   3) Если одна из главных кривизн равна нулю, то соответствующий собственный
вектор удовлетворяет условию W p = 0 . Задаваемое им направление называется
асимптотическими. В этом случае мы имеем (W p, p) = h(p, p) = 0 .
   4) Если же k1 = k2 = 0 , то W (a) = −dm(a) = 0 для любого вектора a ∈ TA M
и, значит, m = const . Следовательно, поверхность является либо плоскостью, либо
частью плоскости.
   Примеры.
   1) Рассматривая оператор Вейнгартена на сфере (лекц. 15, пр. 1), мы видели, что
на ней в каждой точке реализуется второй случай. Обратно, можно показать, что
если в каждой точке поверхности ненулевые главные кривизны совпадают, то эта
поверхность есть либо сфера, либо область сферы.
   2) Для геликоида матрицу оператора Вейнгартена мы уже вычислили (лекц. 15,
пр. 2)                            Ã                                  !
                                           0         − (u2 +aa2 )3/2
                             W =                                       .
                                     − (u2 +aa2 )1/2       0
                                                   2
Характеристическое уравнение имеет вид λ2 − (u2a+a2 ) = 0 . Значит, главные кривизны
                  a
равны k1,2 = ± u2 +a 2 .



  16.4. Средняя и гауссова кривизны.

  Обратимся теперь к коэффициентам характеристического уравнения (43). По тео-
реме Виета 2H = k1 + k2 , K = k1 k2 . С другой стороны, эти коэффициенты можно
вычислить непосредственно через компоненты оператора Вейнгартена
                        2H = trW = W11 + W22 ,     K = detW.                     (44)
Величина 2H называется средней кривизной, а K — гауссовой или полной кривизной
поверхности.
  Гауссову, среднюю и главные кривизны можно найти непосредственно с помощью
первой и второй фундаментальных форм. Связь между оператором Вейнгартена и
второй фундаментальной формой определяется формулой (35). Если поэтому вектор
a имеет главное направление, то в силу (41)
                                h(a, b) − λ(a, b) = 0.
Запишем это условие в координатах и учтем, что оно должно выполняться при лю-
бом выборе вектора b . В результате получим систему двух линейных однородных
уравнений для координат вектора a
                                 (hij − λgij )ai = 0.                            (45)

Страницы