Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

40
19.3. Геодезическая кривизна пути на поверхности.
Пусть Γ : u
i
= u
i
(s) — путь на поверхности M , отнесенный к натуральному па-
раметру и r(s) = r(u
i
(s)) — его радиус-вектор. Вектор первой производной e =
˙
r
является единичным касательным вектором и поэтому всегда принадлежит касатель-
ной плоскости точки r(s) . Рассмотрим вторую производную — вектор кривизны
¨
r
этого пути.
Определение. Геодезической кривизной пути Γ на поверхности M называется
модуль проекции его вектора кривизны на касательную плоскость в соответству-
ющей точке:
k
g
= |pr
T
¨
r|. (59)
Для того, чтобы получить эффективную формулу для вычисления геодезической
кривизны, рассмотрим единичный вектор a = [m,
˙
r] . Он лежит в касательной плос-
кости, дополняя единичные векторы нормали m и касательной
˙
r до правого ор-
тонормированного репера. Тогда k
g
= |pr
a
¨
r| = |(a,
¨
r)| и, таким образом, получаем
формулу
k
g
= |(m,
˙
r,
¨
r)|. (60)
Как вычислить геодезическую кривизну, если путь Γ задан в произвольной пара-
метризации r(t) ? Для этого используем формулы перехода от натурального пара-
метра к произвольному
˙
r = r
0
˙
t,
¨
r = r
00
(
˙
t)
2
+ r
0
¨
t,
откуда [
˙
r,
¨
r] = [r
0
, r
00
](
˙
t)
3
и, следовательно, k
g
= |(m, r
0
, r
00
)||
˙
t|
3
. Но |
˙
t| =
1
|r
0
|
и, таким
образом,
k
g
=
|(m, r
0
, r
00
)|
|r
0
|
3
. (61)
Докажем теперь еще одно свойство геодезических путей.
Теорема 24. Путь Γ на поверхности является геодезическим тогда и только
тогда, когда его геодезическая кривизна равна нулю: k
g
= 0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть геодезическая кривизна пути на поверхности (59)
равна нулю
pr
T
¨
r = 0 . (62)
Запишем это равенство в координатах. Так как r(s) = r(u
i
(s)) , то
˙
r = r
i
˙u
i
,
¨
r = r
ij
˙u
i
˙u
j
+ r
i
¨u
i
.
Но в силу деривационных уравнений (30)
r
ij
= Γ
k
ij
r
k
+ h
ij
m.
Поэтому вектор второй производной принимает вид
¨
r = (¨u
k
+ Γ
k
ij
˙u
i
˙u
j
)r
k
+ (h
ij
˙u
i
˙u
j
)m .
Здесь первое слагаемое — касательная, а второе — нормальная составляюшая этого
вектора. Следовательно, при обращении геодезической кривизны в нуль имеем
d
2
u
k
ds
2
+ Γ
k
ij
(u
m
(s))
du
i
ds
du
j
ds
= 0. (63)
Но это есть как раз система уравнений (57), определяющая геодезические пути. Об-
ратное, очевидно, также справедливо. ¤
40

     19.3. Геодезическая кривизна пути на поверхности.

  Пусть Γ : ui = ui (s) — путь на поверхности M , отнесенный к натуральному па-
раметру и r(s) = r(ui (s)) — его радиус-вектор. Вектор первой производной e = ṙ
является единичным касательным вектором и поэтому всегда принадлежит касатель-
ной плоскости точки r(s) . Рассмотрим вторую производную — вектор кривизны r̈
этого пути.
  Определение. Геодезической кривизной пути Γ на поверхности M называется
модуль проекции его вектора кривизны на касательную плоскость в соответству-
ющей точке:
                                                   kg = |prT r̈|.                                       (59)
  Для того, чтобы получить эффективную формулу для вычисления геодезической
кривизны, рассмотрим единичный вектор a = [m, ṙ] . Он лежит в касательной плос-
кости, дополняя единичные векторы нормали m и касательной ṙ до правого ор-
тонормированного репера. Тогда kg = |pra r̈| = |(a, r̈)| и, таким образом, получаем
формулу
                                              kg = |(m, ṙ, r̈)| .                                      (60)
  Как вычислить геодезическую кривизну, если путь Γ задан в произвольной пара-
метризации r(t) ? Для этого используем формулы перехода от натурального пара-
метра к произвольному
                                        ṙ = r0 ṫ, r̈ = r00 (ṫ)2 + r0 ẗ,
откуда [ṙ, r̈] = [r0 , r00 ](ṫ)3 и, следовательно, kg = |(m, r0 , r00 )||ṫ|3 . Но |ṫ| = |r10 | и, таким
образом,
                                                      |(m, r0 , r00 )|
                                             kg =                      .                                (61)
                                                         |r0 |3
  Докажем теперь еще одно свойство геодезических путей.
Теорема 24. Путь Γ на поверхности является геодезическим тогда и только
тогда, когда его геодезическая кривизна равна нулю: kg = 0 .
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть геодезическая кривизна пути на поверхности (59)
равна нулю
                                        prT r̈ = 0.                             (62)
Запишем это равенство в координатах. Так как r(s) = r(ui (s)) , то
                                    ṙ = ri u̇i ,   r̈ = rij u̇i u̇j + ri üi .
Но в силу деривационных уравнений (30)
                                           rij = Γkij rk + hij m.
Поэтому вектор второй производной принимает вид
                                r̈ = (ük + Γkij u̇i u̇j )rk + (hij u̇i u̇j )m .
Здесь первое слагаемое — касательная, а второе — нормальная составляюшая этого
вектора. Следовательно, при обращении геодезической кривизны в нуль имеем
                           d2 uk     k     m      dui duj
                                 + Γ ij (u   (s))         = 0.               (63)
                            ds2                   ds ds
Но это есть как раз система уравнений (57), определяющая геодезические пути. Об-
ратное, очевидно, также справедливо. ¤

Страницы