ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
42
Лекция 20. ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
20.1. Полугеодезические координаты на поверхности. Геодезические пути
на поверхности можно использовать для того, чтобы ввести в некоторой ее обла-
сти специальные полугеодезические координаты, в которых вычисления и формулы
существенно упрощаются. В этой лекции мы используем их для того, чтобы дать
локальное описание поверхностей постоянной гауссовой кривизны.
Определение. Координатная сеть на поверхности M называется полугеодези-
ческой, если она образована 1-параметрическим семейством геодезических путей и
их ортогональными траекториями.
Для того, чтобы построить полугеодезическую систему координат, выберем на по-
верхности произвольную точку O (начало) и проведем через нее какой-нибудь гео-
дезический путь β (база). Отложим на β от точки O ориентированную дугу s
и через ее конец проведем геодезический путь в направлении, ортогональном базе.
В результате получим 1-параметрическое семейство геодезических {Γ
s
}. Отнесем
их к натуральному параметру u , который будем отсчитывать от базы. Рассмотрим
теперь ортогональные траектории этого семейства, вдоль которых будем изменять
другой параметр v . В частности, при u = 0 мы имеем базу, на которой, как уже
было сказано, параметр v выбран натуральным.
Теорема 25. В полугеодезических координатах первая квадратичная форма поверх-
ности имеет вид
dr
2
= du
2
+ B
2
(u, v)dv
2
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу ортогональности сети коэффициент g
12
= 0 ,
поэтому первая квадратичная форма должна иметь вид
dr
2
= g
11
du
2
+ g
22
dv
2
,
где g
11
> 0, g
22
> 0 — положительные функции от u, v . Рассмотрим далее 1-пара-
метрическое семейство геодезических. Отнесенные к натуральному параметру, они
имеют уравнения (63)
¨u + Γ
1
11
˙u
2
+ 2Γ
1
12
˙u ˙v + Γ
1
22
˙v
2
= 0 , ¨v + Γ
2
11
˙u
2
+ 2Γ
2
12
˙u ˙v + Γ
2
22
˙v
2
= 0 . (64)
По условию эти уравнения должны удовлетворяться при v = const и u = s . После
подстановки этих значений в уравнения геодезических получим Γ
1
11
= 0 , Γ
2
11
=
0 . Учитывая выражения для символов Кристоффеля, отсюда получаем следующие
условия на метрику
2Γ
1
11
= g
11
∂
1
g
11
= 0, 2Γ
2
11
= −g
22
∂
2
g
11
= 0 .
Это значит, что g
11
= c
2
= const и тогда dr
2
= c
2
du
2
+g
22
dv
2
. Но вдоль геодезических
v = const мы имеем u = s . Следовательно, dr
2
= c
2
ds
2
и поэтому c
2
= 1 . Вследствие
этого dr
2
= du
2
+ g
22
dv
2
. Осталось положить g
22
= B
2
. ¤
Следствие. Любые две ортогональные траектории полугеодезических координат
отсекают на путях геодезического семейства {Γ
s
} дуги равной длины.
В самом деле, вдоль геодезических v = const и ds = du . Длина дуги любой из них,
заключенная между двумя ортогональными траекториями, равна s =
R
u
2
u
1
du = u
2
−
u
1
. Таким образом, она не зависит от v и, следовательно, от выбора геодезической.
Примеры.
1) Простейшим примером полугедезических координат являются прямоугольные
координаты на плоскости. Здесь оба семейства координатных линий образовано пря-
мыми — геодезическими плоскости. Другим примером таких координат на плоскости
42
Лекция 20. ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
20.1. Полугеодезические координаты на поверхности. Геодезические пути
на поверхности можно использовать для того, чтобы ввести в некоторой ее обла-
сти специальные полугеодезические координаты, в которых вычисления и формулы
существенно упрощаются. В этой лекции мы используем их для того, чтобы дать
локальное описание поверхностей постоянной гауссовой кривизны.
Определение. Координатная сеть на поверхности M называется полугеодези-
ческой, если она образована 1-параметрическим семейством геодезических путей и
их ортогональными траекториями.
Для того, чтобы построить полугеодезическую систему координат, выберем на по-
верхности произвольную точку O (начало) и проведем через нее какой-нибудь гео-
дезический путь β (база). Отложим на β от точки O ориентированную дугу s
и через ее конец проведем геодезический путь в направлении, ортогональном базе.
В результате получим 1-параметрическое семейство геодезических {Γs } . Отнесем
их к натуральному параметру u , который будем отсчитывать от базы. Рассмотрим
теперь ортогональные траектории этого семейства, вдоль которых будем изменять
другой параметр v . В частности, при u = 0 мы имеем базу, на которой, как уже
было сказано, параметр v выбран натуральным.
Теорема 25. В полугеодезических координатах первая квадратичная форма поверх-
ности имеет вид
dr2 = du2 + B 2 (u, v)dv 2 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу ортогональности сети коэффициент g12 = 0 ,
поэтому первая квадратичная форма должна иметь вид
dr2 = g11 du2 + g22 dv 2 ,
где g11 > 0, g22 > 0 — положительные функции от u, v . Рассмотрим далее 1-пара-
метрическое семейство геодезических. Отнесенные к натуральному параметру, они
имеют уравнения (63)
ü + Γ111 u̇2 + 2Γ112 u̇v̇ + Γ122 v̇ 2 = 0 , v̈ + Γ211 u̇2 + 2Γ212 u̇v̇ + Γ222 v̇ 2 = 0 . (64)
По условию эти уравнения должны удовлетворяться при v = const и u = s . После
подстановки этих значений в уравнения геодезических получим Γ111 = 0 , Γ211 =
0 . Учитывая выражения для символов Кристоффеля, отсюда получаем следующие
условия на метрику
2Γ111 = g 11 ∂1 g11 = 0, 2Γ211 = −g 22 ∂2 g11 = 0 .
Это значит, что g11 = c2 = const и тогда dr2 = c2 du2 +g22 dv 2 . Но вдоль геодезических
v = const мы имеем u = s . Следовательно, dr2 = c2 ds2 и поэтому c2 = 1 . Вследствие
этого dr2 = du2 + g22 dv 2 . Осталось положить g22 = B 2 . ¤
Следствие. Любые две ортогональные траектории полугеодезических координат
отсекают на путях геодезического семейства {Γs } дуги равной длины.
В самом деле, вдоль геодезических v = const и ds = du . Длина дуги любой R u2 из них,
заключенная между двумя ортогональными траекториями, равна s = u1 du = u2 −
u1 . Таким образом, она не зависит от v и, следовательно, от выбора геодезической.
Примеры.
1) Простейшим примером полугедезических координат являются прямоугольные
координаты на плоскости. Здесь оба семейства координатных линий образовано пря-
мыми — геодезическими плоскости. Другим примером таких координат на плоскости
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- …
- следующая ›
- последняя »
