Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6
Лекция 22. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА
МНОГООБРАЗИЯХ
22.1. Тензорные поля на многообразии.
Теперь уже несложно понять, что такое тензорное поле на гладком многообразии.
В каждой точке мы имеем касательное и сопряженное ему кокасательное векторные
пространства. Следовательно, естественным является следующее
Определение. Тензорное поле валентности (p, q) в области Q ⊂ M гладкого
многообразия есть отображение, которое всякой точке многообразия ставит в со-
ответствие тензор x → F
x
(α
1
, . . . , α
p
, a
1
, . . . , a
q
, ) с аргументами из касательного
и кокасательного пространств.
В координатах тензорное поле задается своими компонентами. Это набор m
p+q
функций, которые в каждой точке являются значениями тензора на базисных век-
торах и ковекторах касательного и кокасательного пространств
F
i
1
...i
p
j
1
...j
q
(x) = F
x
(dx
i
1
, . . . , dx
i
p
, ∂
j
1
, . . . , ∂
j
q
).
Тензорное поле называется гладким, если эти функции гладкие. Из результатов лек-
ции 9 следует, что при переходе к другой карте (U
0
, x
i
0
) компоненты тензорного поля
изменяются по закону
F
i
0
1
...i
0
p
j
0
1
...j
0
q
(x
0
) = f
i
0
1
i
1
. . . f
i
0
p
i
p
F
i
1
...i
p
j
1
...j
q
(x)f
j
1
j
0
1
. . . f
j
q
j
0
q
, (11)
где f
i
0
i
(x) =
∂x
i
0
∂x
i
и f
i
i
0
(x
0
) =
∂x
i
∂x
i
0
— элементы якобивой матрицы преобразования и
обратной к ней. Из этой формулы следует, что обращение тензорного поля в нуль не
зависит от выбора координат.
Для тензорных полей выполнимы все те алгебраические операции, которые мы
рассмотрели ранее. Рассмотрим примеры тензорных полей.
Скалярное поле на многообразии — это отображение F : M → R . По определе-
нию оно считается тензорным полем нулевой валентности. В координатах скалярное
поле задается функцией F (x
1
, . . . , x
m
) . Точки многообразия, в которых градиент
gradF = 0 , называются особыми точками скалярного поля. Точки многообразия, в
которых скалярное поле принимает постоянное значение F (x) = const , образуют
гиперповерхности уровня. Эти поверхности образуют 1-параметрическое семейство.
В предыдущей лекции мы уже рассматривали векторные поля. Напомним, что
если задано векторное поле a и скалярное поле, то поле a действует на него как
дифференциальный оператор по формуле
a(F ) = a
i
∂
i
F (x) ,
так что в результате получаем новое скалярное поле. Нетрудно проверить рассматри-
вая законы преобразования, что эта функция определена инвариантно, независимо
от выбора координат.
Ковекторное поле ξ(x) : x → T
∗
x
M задается ковектором в каждой точке много-
образия. Для того, чтобы выяснить его геометрический смысл, рассмотрим в какой-
либо точке x множество векторов, которые обращают в нуль линейную форму ξ
x
:
ξ(a) = ξ
1
a
1
+ ··· + ξ
m
a
m
= 0.
6

           Лекция 22. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА
                            МНОГООБРАЗИЯХ


    22.1. Тензорные поля на многообразии.

  Теперь уже несложно понять, что такое тензорное поле на гладком многообразии.
В каждой точке мы имеем касательное и сопряженное ему кокасательное векторные
пространства. Следовательно, естественным является следующее
  Определение. Тензорное поле валентности (p, q) в области Q ⊂ M гладкого
многообразия есть отображение, которое всякой точке многообразия ставит в со-
ответствие тензор x → Fx (α1 , . . . , αp , a1 , . . . , aq , ) с аргументами из касательного
и кокасательного пространств.
  В координатах тензорное поле задается своими компонентами. Это набор mp+q
функций, которые в каждой точке являются значениями тензора на базисных век-
торах и ковекторах касательного и кокасательного пространств
                           i ...i
                        Fj11...jqp (x) = Fx (dxi1 , . . . , dxip , ∂j1 , . . . , ∂jq ).

Тензорное поле называется гладким, если эти функции гладкие. Из результатов лек-
                                                        0
ции 9 следует, что при переходе к другой карте (U 0 , xi ) компоненты тензорного поля
изменяются по закону
                           i0 ...i0             i0         i0    i ...i                    j
                        Fj 10 ...jp0q (x0 ) = fi11 . . . fipp Fj11...jqp (x)fjj10 . . . fj q0q ,   (11)
                            1                                                    1

       0        i0                        i
где fii (x) = ∂x
              ∂xi
                                 ∂x
                  и fii0 (x0 ) = ∂x i0 — элементы якобивой матрицы преобразования и
обратной к ней. Из этой формулы следует, что обращение тензорного поля в нуль не
зависит от выбора координат.
  Для тензорных полей выполнимы все те алгебраические операции, которые мы
рассмотрели ранее. Рассмотрим примеры тензорных полей.
  Скалярное поле на многообразии — это отображение F : M → R . По определе-
нию оно считается тензорным полем нулевой валентности. В координатах скалярное
поле задается функцией F (x1 , . . . , xm ) . Точки многообразия, в которых градиент
gradF = 0 , называются особыми точками скалярного поля. Точки многообразия, в
которых скалярное поле принимает постоянное значение F (x) = const , образуют
гиперповерхности уровня. Эти поверхности образуют 1-параметрическое семейство.
  В предыдущей лекции мы уже рассматривали векторные поля. Напомним, что
если задано векторное поле a и скалярное поле, то поле a действует на него как
дифференциальный оператор по формуле
                                              a(F ) = ai ∂i F (x) ,

так что в результате получаем новое скалярное поле. Нетрудно проверить рассматри-
вая законы преобразования, что эта функция определена инвариантно, независимо
от выбора координат.
  Ковекторное поле ξ(x) : x → Tx∗ M задается ковектором в каждой точке много-
образия. Для того, чтобы выяснить его геометрический смысл, рассмотрим в какой-
либо точке x множество векторов, которые обращают в нуль линейную форму ξx :

                                      ξ(a) = ξ1 a1 + · · · + ξm am = 0.

Страницы