ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
8
где
f
i
i
0
(x
0
) =
∂x
i
∂x
i
0
, f
k
i
0
j
0
(x
0
) =
∂
2
x
k
∂x
i
0
∂x
j
0
, f
k
0
k
(x) =
∂x
k
0
∂x
k
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно определению (??), в карте (U
0
, x
i
0
) имеем
формулу ∇
i
0
∂
j
0
= Γ
k
0
i
0
j
0
(x
0
)∂
k
0
, в которой нужно сделать замену ∂
i
0
= f
i
i
0
(x
0
)∂
i
. Ис-
пользуя свойства ковариантной производной, после некоторой цепочки вычислений
получим
∇
i
0
∂
j
0
= Γ
k
0
i
0
j
0
f
k
k
0
∂
k
= ∇
∂
i
0
(f
j
j
0
∂
j
) = f
j
j
0
∇
i
0
∂
j
+ ∂
i
0
f
j
j
0
∂
j
= f
j
j
0
∇
(f
i
i
0
∂
i
)
∂
j
+ f
k
i
0
j
0
∂
k
=
f
i
i
0
f
j
j
0
∇
∂
i
∂
j
+ f
k
i
0
j
0
∂
k
= (f
i
i
0
f
j
j
0
Γ
k
ij
+ f
k
i
0
j
0
)∂
k
,
откуда после свертывания с f
m
0
k
приходим к утверждению теоремы. ¤
Формула (18) показывает, что компоненты связности не образуют тензорного
поля. В частности, их обращение в нуль не имеет инвариантного характера. В даль-
нейшем нам будет нужен только случай, когда компоненты связности симметричны
по нижним индексам: Γ
k
ij
= Γ
k
ji
.
Операция ковариантного дифференцирования может быть применена и к тензор-
ным полям любой валентности. Для этого в дополнение к условиям (12), (13) и (14)
введем еще три:
1) Ковариантная производная скалярного поля совпадает с обычной производной
этого поля в заданном направлении:
∇
h
F = h(F );
2) Для любой пары тензорных полей T, S
∇
h
(T ⊗S) = ∇
h
T ⊗S + T ⊗ ∇
h
S .
3) Ковариантное дифференцирование перестановочно со свертыванием:
∇
h
◦ tr = tr ◦ ∇
h
.
Нам понадобятся также деривационные уравнения поля натуральных кореперов
{dx
i
}, двойственные уравнениям (15). Покажем, что они имеют вид
∇
i
dx
k
= −Γ
k
ij
dx
j
. (19)
В самом деле, дифференцируя ковариантно условие сопряженности базисов dx
k
(∂
j
) =
δ
k
j
, получим ∇
i
dx
k
(∂
j
) + dx
k
∇
i
∂
j
= 0 . Учитывая (15), отсюда найдем ∇
i
dx
k
(∂
j
) =
−Γ
k
ij
, откуда и следует формула (19).
Рассмотрим теперь ковекторное поле ξ = ξ
k
(x)dx
k
. Принимая во внимание свой-
ства (12) и (13), будем иметь
(∇
i
ξ) = (∂
i
ξ
k
)dx
k
+ ξ
k
∇
i
dx
k
= (∂
i
ξ
k
)dx
k
− ξ
k
Γ
k
ij
dx
j
и, следовательно, имеем следующий аналог формулы (16)
∇
i
ξ
j
= ∂
i
ξ
j
− Γ
k
ij
ξ
k
. (20)
Рассмотрим теперь тензорное поле валентности (1, 2) . Пусть T = T
i
jk
(x)∂
i
⊗dx
j
⊗
dx
k
— разложение этого тензора по векторам натуральных репера и корепера. Учи-
тывая деривационные уравнения (15) и (19), получим
∇
k
T = (∂
k
T
i
jm
)∂
i
⊗dx
j
⊗dx
m
+T
i
jm
(∇
k
∂
i
⊗dx
j
⊗dx
m
+∂
i
⊗∇
k
dx
j
⊗dx
m
+∂
i
⊗dx
j
⊗∇
k
dx
m
) =
(∂
k
T
i
jk
)∂
i
⊗dx
j
⊗dx
m
+ T
i
jm
(Γ
s
ki
∂
s
⊗dx
j
⊗dx
m
−∂
i
⊗Γ
j
ks
dx
s
⊗dx
m
−∂
i
⊗∂
j
⊗Γ
m
ks
dx
s
) ,
8
где
0
∂xi ∂ 2 xk k0 ∂xk
fii0 (x0 ) = , f k
0 0 (x 0
) = , f (x) = .
∂xi0 i j ∂xi0 ∂xj 0 k ∂xk
0
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно определению (??), в карте (U 0 , xi ) имеем
0
формулу ∇i 0 ∂j 0 = Γki0 j 0 (x0 )∂k 0 , в которой нужно сделать замену ∂i0 = fii0 (x0 )∂i . Ис-
пользуя свойства ковариантной производной, после некоторой цепочки вычислений
получим
0
∇i0 ∂j 0 = Γki0 j 0 fkk0 ∂k = ∇∂i0 (fjj0 ∂j ) = fjj 0 ∇i0 ∂j + ∂i0 fjj0 ∂j = fjj 0 ∇(f i0 ∂i ) ∂j + fik0 j 0 ∂k =
i
fii0 fjj 0 ∇∂i ∂j + fik0 j 0 ∂k = (fii0 fjj 0 Γkij + fik0 j 0 )∂k ,
0
откуда после свертывания с fkm приходим к утверждению теоремы. ¤
Формула (18) показывает, что компоненты связности не образуют тензорного
поля. В частности, их обращение в нуль не имеет инвариантного характера. В даль-
нейшем нам будет нужен только случай, когда компоненты связности симметричны
по нижним индексам: Γkij = Γkji .
Операция ковариантного дифференцирования может быть применена и к тензор-
ным полям любой валентности. Для этого в дополнение к условиям (12), (13) и (14)
введем еще три:
1) Ковариантная производная скалярного поля совпадает с обычной производной
этого поля в заданном направлении:
∇h F = h(F );
2) Для любой пары тензорных полей T, S
∇h (T ⊗ S) = ∇h T ⊗ S + T ⊗ ∇h S .
3) Ковариантное дифференцирование перестановочно со свертыванием:
∇h ◦ tr = tr ◦ ∇h .
Нам понадобятся также деривационные уравнения поля натуральных кореперов
{dxi } , двойственные уравнениям (15). Покажем, что они имеют вид
∇i dxk = −Γkij dxj . (19)
В самом деле, дифференцируя ковариантно условие сопряженности базисов dxk (∂j ) =
δjk , получим ∇i dxk (∂j ) + dxk ∇i ∂j = 0 . Учитывая (15), отсюда найдем ∇i dxk (∂j ) =
−Γkij , откуда и следует формула (19).
Рассмотрим теперь ковекторное поле ξ = ξk (x)dxk . Принимая во внимание свой-
ства (12) и (13), будем иметь
(∇i ξ) = (∂i ξk )dxk + ξk ∇i dxk = (∂i ξk )dxk − ξk Γkij dxj
и, следовательно, имеем следующий аналог формулы (16)
∇i ξj = ∂i ξj − Γkij ξk . (20)
i
Рассмотрим теперь тензорное поле валентности (1, 2) . Пусть T = Tjk (x)∂i ⊗ dxj ⊗
dxk — разложение этого тензора по векторам натуральных репера и корепера. Учи-
тывая деривационные уравнения (15) и (19), получим
i
∇k T = (∂k Tjm )∂i ⊗dxj ⊗dxm +Tjm
i
(∇k ∂i ⊗dxj ⊗dxm +∂i ⊗∇k dxj ⊗dxm +∂i ⊗dxj ⊗∇k dxm ) =
i
(∂k Tjk )∂i ⊗ dxj ⊗ dxm + Tjm
i
(Γski ∂s ⊗ dxj ⊗ dxm − ∂i ⊗ Γjks dxs ⊗ dxm − ∂i ⊗ ∂j ⊗ Γm s
ks dx ) ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- …
- следующая ›
- последняя »
