Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 96 стр.

10

                          Лекция 23. ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ

     23.1. Тензор кривизны.

  Как мы видели в лекции 15, гауссова кривизна поверхности K(u, v) , характеризу-
ющая отклонение ее внутренней геометрии от геометрии плоскости, задается одной
функцией. Следует ожидать, что отклонение геометрии m -мерного риманова мно-
гообразия (M, g) от геометрии евклидова пространства характеризуется некоторым
множеством функций. В этой лекции мы покажем, что эти функции являются ком-
понентами 4-валентного тензора, называемого тензором кривизны. Мы получим его
компоненты сначала формально, а затем выясним геометрический смысл этого тен-
зора.
  Для этого рассмотрим деривационные уравнения многообразия (M, ∇) , получен-
ные в лекции 23
                                ∇j ∂m = Γkjm (x)∂k                           (24)
и вычислим вторую ковариантную производную. Принимая во внимание свойства
ковариантных производных, получим
                ∇i (∇j ∂m ) = ∂i Γkjm ∂k + Γkjm ∇i ∂k = (∂i Γkjm + Γkis Γsjm )∂k .
Поменяв местами индексы i и j , получим аналогичное выражение
                ∇j (∇i ∂m ) = ∂j Γkim ∂k + Γkim ∇j ∂k = (∂j Γkim + Γkjs Γsim )∂k .
Рассмотрим их разность
                                                   k
                             (∇i ∇j − ∇j ∇i )∂m = Rmij (x)∂k ,                       (25)
где
                      Rkmij (x) = ∂i Γkjm − ∂j Γkim + Γkis Γsjm − Γkjs Γsim          (26)
являются компонентами тензора валентности (1, 3) , который называется тензором
кривизны пространства (M, ∇) . Таким образом, с формальной точки зрения тензор
кривизны характеризует неперестановочность ковариантных производных.
Теорема 7. Компоненты тензора кривизны обладают следующими свойствами
симметрии
                 Rkmij = −Rkmji , Rkmij + Rkijm + Rkjmi = 0.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Косая симметрия компонент тензора кривизны по
последней паре индексов следует непосредственно из их определения (25). Менее
очевидно второе свойство. Для его доказательства запишем равенство (25) трижды,
делая циклическую перестановку нижних индексов i → j → m → i
                                                    k
                             ∇i ∇j ∂m − ∇j ∇i ∂m = Rmij (x)∂k ,
                                                    k
                             ∇j ∇m ∂i − ∇m ∇j ∂i = Rijm (x)∂k ,
                                                   k
                            ∇m ∇i ∂j − ∇i ∇m ∂j = Rjmi (x)∂k .
Сложим эти равенства, учитывая, что для симметричных компонент связности вслед-
ствие (24) ∇i ∂j = ∇j ∂i . Тогда в левой части все члены сократятся и мы получим
второе свойство. ¤
  С тензором кривизны связан оператор кривизны, который определяется следую-
щим образом. Выберем в многообразии (M, ∇) два линейно независимых векторных
поля p(x) и q(x) , определяющих в каждой точке 2-мерную плоскость.