ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
12
что доказывает лемму. ¤
Для того, чтобы выяснить геометрический смысл тензора кривизны, рассмотрим
некоторую точку x ∈ (M, ∇) и проходящую через нее 2-мерную поверхность с пара-
метрическими уравнениями x
k
= x
k
(u, v) . Векторы с координатами p
i
(x) = ∂
u
x
i
и
q
i
(x) = ∂
v
x
i
образуют в этой точке натуральный репер этой поверхности и опреде-
ляют ее касательную 2-плоскость L ∈ T
x
M . Рассмотрим на этой поверхности петлю
γ с началом и концом в точке x = x(0) = x(1) . При параллельном перенесении
вдоль петли мы получим линейно изоморфное отображение исходного касательно-
го пространства на себя, т. е. невырожденный линейный оператор P (γ) : T
x
M →
T
x
M . Оказывается, что в главной своей части он определяется оператором кривиз-
ны R(p, q) и, конечно, выбранной петлей.
Однако, для упрощения вычислений лучше поступить следующим образом. В ка-
честве петли рассмотрим принадлежащий поверхности малый криволинейный парал-
лелограм, образованный координатными линиями, вершины которого имеют коорди-
наты x(u, v), x
1
(u+t, v), x
2
(u, v +t), x
3
(u+t, v +t) . Паралельное перенесение вектора
a вдоль пути γ
1
= xx
1
x
3
порождает линейный изоморфизм P (γ
1
) : T
x
M → T
x
3
M
касательных пространств. Аналогичное отображение P (γ
2
) возникает при его пере-
несении вдоль пути γ
2
= xx
2
x
3
. В результате в точке x
3
получим два вектора: a
0
3
и
a
00
3
. Оказывается, что разность ∆a = a
00
3
−a
0
3
в главной своей части определяется тен-
зором кривизны и, естественно, выбранным параллелограмом. Точнее, с точностью
до малых второго порядка справедлива формула
∆a
k
= t
2
R
k
mij
(x)F
ij
(x)a
m
, (31)
где F
ij
= p
i
q
j
− p
j
q
i
— кососимметричный тензор, называемый бивектором.
Докажем эту формулу. Согласно лемме, в точке x
1
мы получим вектор a
1
=
P (x, t)a . Аналогичным образом, перенося начальный вектор по v -линии, получим в
точке x
2
вектор a
2
= Q(x, t)a , где оператор Q(x, t) аналогичен (29), но определяется
вектором q
Q
k
j
(x, t) = δ
k
j
− tΓ
k
ij
(x)q
i
. (32)
Далее, перенося параллельно вектор a
1
из точки x в точку x
3
вдоль координатной
v -линии, получим вектор a
0
3
= Q(x
1
, t)a
1
. Аналогично, перенося параллельно вдоль
u -линии вектор a
2
из точки x
2
в ту же точку x
3
, получим вектор a
00
3
= P (x
2
, t)a
2
.
Их разность равна
∆a = a
00
3
− a
0
3
= (P (x
2
, t)Q(x, t) − Q(x
1
, t)P (x, t))a.
Учитывая, что в первом приближении x
i
1
= x
i
+ p
i
(x)t и x
i
2
= x
i
+ q
i
(x)t , получаем
P (x
2
, t) = P (x, t) + tq
s
∂
s
P (x, t), Q(x
1
, t) = Q(x, t) + tp
s
∂
s
Q(x, t).
Поэтому выражение в скобках равно
P (x, t)Q(x, t) − Q(x, t)P (x, t) + t(q
i
(x)∂
i
P (x, t)Q(x, t) − p
i
(x)∂
i
Q(x, t)P (x, t)).
Вычислим его в координатах. Имеем
P
k
s
Q
s
m
= (δ
k
s
− tΓ
k
is
p
i
)(δ
s
m
− tΓ
s
jm
q
j
) = δ
k
m
− t(Γ
k
im
p
i
+ Γ
k
jm
q
j
) + t
2
(Γ
k
is
Γ
s
jm
p
i
q
j
)
и аналогично
Q
k
s
P
s
m
= (δ
k
s
− tΓ
k
is
q
i
)(δ
s
m
− tΓ
s
jm
p
j
) = δ
k
m
− t(Γ
k
im
q
i
+ Γ
k
jm
p
j
) + t
2
(Γ
k
is
Γ
s
jm
q
i
p
j
).
Следовательно, после очевидных сокращений
P
k
s
Q
s
m
− Q
k
s
P
s
m
= t
2
(Γ
k
is
Γ
s
jm
− Γ
k
js
Γ
s
im
)p
i
q
j
.
12
что доказывает лемму. ¤
Для того, чтобы выяснить геометрический смысл тензора кривизны, рассмотрим
некоторую точку x ∈ (M, ∇) и проходящую через нее 2-мерную поверхность с пара-
метрическими уравнениями xk = xk (u, v) . Векторы с координатами pi (x) = ∂u xi и
q i (x) = ∂v xi образуют в этой точке натуральный репер этой поверхности и опреде-
ляют ее касательную 2-плоскость L ∈ Tx M . Рассмотрим на этой поверхности петлю
γ с началом и концом в точке x = x(0) = x(1) . При параллельном перенесении
вдоль петли мы получим линейно изоморфное отображение исходного касательно-
го пространства на себя, т. е. невырожденный линейный оператор P (γ) : Tx M →
Tx M . Оказывается, что в главной своей части он определяется оператором кривиз-
ны R(p, q) и, конечно, выбранной петлей.
Однако, для упрощения вычислений лучше поступить следующим образом. В ка-
честве петли рассмотрим принадлежащий поверхности малый криволинейный парал-
лелограм, образованный координатными линиями, вершины которого имеют коорди-
наты x(u, v), x1 (u+t, v), x2 (u, v +t), x3 (u+t, v +t) . Паралельное перенесение вектора
a вдоль пути γ1 = xx1 x3 порождает линейный изоморфизм P (γ1 ) : Tx M → Tx3 M
касательных пространств. Аналогичное отображение P (γ2 ) возникает при его пере-
несении вдоль пути γ2 = xx2 x3 . В результате в точке x3 получим два вектора: a03 и
a003 . Оказывается, что разность ∆a = a003 −a03 в главной своей части определяется тен-
зором кривизны и, естественно, выбранным параллелограмом. Точнее, с точностью
до малых второго порядка справедлива формула
∆ak = t2 Rkmij (x)F ij (x)am , (31)
где F ij = pi q j − pj q i — кососимметричный тензор, называемый бивектором.
Докажем эту формулу. Согласно лемме, в точке x1 мы получим вектор a1 =
P (x, t)a . Аналогичным образом, перенося начальный вектор по v -линии, получим в
точке x2 вектор a2 = Q(x, t)a , где оператор Q(x, t) аналогичен (29), но определяется
вектором q
Qkj (x, t) = δjk − tΓkij (x)q i . (32)
Далее, перенося параллельно вектор a1 из точки x в точку x3 вдоль координатной
v -линии, получим вектор a03 = Q(x1 , t)a1 . Аналогично, перенося параллельно вдоль
u -линии вектор a2 из точки x2 в ту же точку x3 , получим вектор a003 = P (x2 , t)a2 .
Их разность равна
∆a = a003 − a03 = (P (x2 , t)Q(x, t) − Q(x1 , t)P (x, t))a.
Учитывая, что в первом приближении xi1 = xi + pi (x)t и xi2 = xi + q i (x)t , получаем
P (x2 , t) = P (x, t) + tq s ∂s P (x, t), Q(x1 , t) = Q(x, t) + tps ∂s Q(x, t).
Поэтому выражение в скобках равно
P (x, t)Q(x, t) − Q(x, t)P (x, t) + t(q i (x)∂i P (x, t)Q(x, t) − pi (x)∂i Q(x, t)P (x, t)).
Вычислим его в координатах. Имеем
Psk Qsm = (δsk − tΓkis pi )(δm
s
− tΓsjm q j ) = δm
k
− t(Γkim pi + Γkjm q j ) + t2 (Γkis Γsjm pi q j )
и аналогично
Qks Pms = (δsk − tΓkis q i )(δm
s
− tΓsjm pj ) = δm
k
− t(Γkim q i + Γkjm pj ) + t2 (Γkis Γsjm q i pj ).
Следовательно, после очевидных сокращений
Psk Qsm − Qks Pms = t2 (Γkis Γsjm − Γkjs Γsim )pi q j .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- …
- следующая ›
- последняя »
