Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 100 стр.

14

                   Лекция 24. РИМАНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ.


     24.1. Риманова метрика и риманова связность.

   Теория гладких многообразий есть многомерное обобщение теории поверхностей,
точнее ее внутренней геометрии. Но мы пока не имеем способа измерения рассмат-
риваемых величин, т. е метрики. В теории поверхностей она в виде первой фунда-
ментальной формы возникала естественным образом из евклидова пространства. В
теории многомерных многообразий ее определил Б.Риман в 1854 г.
   Определение. Римановой метрикой на многообразии M называется симмет-
ричное тензорное поле g валентности (0,2) такое, что квадратичная форма a2 =
g(a, a) является положительно определенной. Многообразие, снабженное римано-
вой метрикой называется римановым и обозначается (M, g) .
   Итак, мы определили полную аналогию первой фундаментальной формы поверх-
ности и многие понятия римановой геометрии представляют собой просто многомер-
ное обобщение ее внутренней геометрии.
   Поле g называется метрическим тензором пространства, а его значение на паре
векторных полей (a, b) = g(a, b) их скалярным произведением. Таким образом, если
многообразие риманово, то касательное векторное пространство каждой его точки
является евклидовым. Если заменить условие положительной определенности поля
g более слабым условием невырожденности, то касательные пространства станут
псевдоевклидовыми и мы придем к понятию псевдоримановой метрики и псевдори-
манова многообразия. Интерес к таким многообразиям возник в связи с общей тео-
рией относительности: физическое пространство-время этой теории 4-мерно и имеет
псевдориманову метрику сигнатуры (+ + + —).
   Пусть (U, ϕ) — некоторая карта на многообразии и {∂i } — соответствующее поле
натуральных реперов. Тогда метрический тензор имеет компоненты gij (x) = (∂i , ∂j ) ,
а скалярное произведение имеет вид (a, b)(x) = gij (x)ai (x)bj (x) . Отметим, что в силу
условия положительной определенности определитель матрицы метрического тензо-
ра det(gij ) > 0 . Так как он невырожденный, то в каждой точке определен линейный
изоморфизм TA M → TA∗ M касательных пространств на кокасательные, который
векторному полю a(x) ставит в соответствие ковекторное поле в той же точке ξa (x)
по формуле (7) лекц. 10: ξa (b) = (a, b) . При координатной записи удобно вектор и
соответствующий ему ковектор обозначать одной и той же буквой, различая их лишь
положением индекса. Благодаря этому соглашению в координатах это отображение
выражается простой формулой ai (x) = gij (x)aj (x) и называется опусканием индек-
са. Более того, этот изоморфизм является изометрией, если определить скалярное
произведение ковекторных полей формулой (ξa , ηb ) = (a, b) . Обратное отображение
имеет вид ai (x) = g ij (x)aj (x) и называется поднятием индекса. По этой причине в
римановой геометрии векторы и ковекторы часто отождествляют и говорят, напри-
мер, о векторном поле с ковариантными компонентами.
   Имея метрический тензор, мы так же, как на поверхности, можем определить
угол между векторными полями, модуль векторного
                                            R        поля, а также ориентированную
длину дуги пути x = x(t) формулой s = |x0 (t)|dt или в координатах
                                 Zt2 q
                            s=        gij (x(t))x0i (t)x0j (t) dt.
                                 t1