Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 106 стр.

20

Меняя местами индексы i, j , получим аналогичное соотношение. В результате их
подстановки в ковариантные компоненты тензора кривизны после очевидных сокра-
щений получим
                 1 2          2         2         2
          Rkmij = (∂im gjk − ∂ik gjm − ∂jm gik + ∂jk gim ) − grs (Γrik Γsjm − Γrim Γsjk )    (42)
                 2
(здесь в последнем члене мы поменяли местами индексы суммирования r, s ). Из этой
формулы непосредственно видны искомые свойства симметрии компонент тензора
кривизны. Впрочем, второе свойство является простым следствием первого. ¤
  Свойства симметрии тензора кривизны значительно уменьшают число его суще-
                                                                            2  2 −1)
ственных компонент. Можно показать, что их число равно N = m (m               12
                                                                                     . Это более,
чем в 12 раз меньше числа компонент 4-валентного тензора, не обладающего сим-
метриями. Это обстоятельство имеет важное практическое значение, существенно
сокращая вычисления.

     25.2. Пространства нулевой кривизны.

  Для того, чтобы прояснить роль тензора кривизны в геометрии многообразий со
связностью, рассмотрим многообразия, в которых он равен нулю.
Теорема 12. Для того, чтобы многообразие (M, ∇) с симметричной связностью
было локально аффинным, необходимо и достаточно, чтобы его тензор кривизны
был равен нулю.
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть многообразие аффинное или является областью
аффинного пространства. Введем в нем декартовы координаты (O, ei ) . Здесь ∂i =
ei = const и поэтому, как следует из деривационных уравнений, в этой системе
координат Γkij = 0 . Тогда тензор кривизны Rkmij = 0 . Заметим, что это равенство, в
отличие от предыдущего, имеет тензорный характер и поэтому имеет место в любой
системе координат этого пространства.
    Докажем достаточность этого условия. Пусть (M, ∇) — многообразие нулевой
кривизны. Покажем, что тогда в области U ⊂ M с координатами (xi ) можно
                                     0
ввести декартовы координаты (xi ) . Это значит, что существуют гладкие функции
  0     0
xi = f i (x) , определяющие преобразование к искомым координатам. При этом преоб-
разовании компоненты связности преобразуются по формуле (нам удобно выразить
данные компоненты через штрихованные)
                                                      0     0       0      0
                                 Γkij (x) = fkk0 (Γki0 j 0 fii fjj + ∂i fjk ) .
                                                                                  0
Но в декартовых координатах, если они существуют, должно быть Γki0 j 0 = 0 и, следо-
                                                                             0
вательно, искомые функции должны удовлетворять условию Γkij (x) = fkk0 ∂i fjk . Таким
образом, мы получаем для них следующую систему дифференциальных уравнений
                             0                                  0
                       ∂f i (x)      i0           ∂fii (x)      0
                    a)       i
                                =  fi   (x),   b)       j
                                                           = fki (x)Γkij (x)       (43)
                         ∂x                         ∂x
                                                        0     0              0
относительно m2 + m неизвестных функций f i (x), fii (x) , где det(fii ) 6= 0 .
  Эта система имеет решение лишь тогда, когда выполняются условия интегрируемо-
сти: так как левые части уравнений есть градиенты искомых функций, то градинтны-
ми должны быть и правые части. Рассмотрим сначала уравнения (a) и вычислим вто-
                                 0           0     0
рые частные производные ∂ij2 f i = ∂j fii = fki (x)Γkij . Здесь симетричны по индексам
дифференцирования как левые, так и правые части, т. е. условия интегрируемости