Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 108 стр.

22

            Лекция 26. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

  В этой лекции мы приводим интегральные теоремы теории векторного поля в 3-
мерном евклидовом пространстве и их механическую и гидродинамическую интер-
претацию. Общая теория интегрирования на гладких многообразиях будет рассмот-
рена в следующем разделе.

     26.1. Работа и циркуляция векторного поля.

  Пусть A(r1 ), B(r2 ) — две точки 3-мерного евклидова пространства a — вектор
силы. Из элементарной механики известно, что его работа на отрезке [A, B] вычис-
ляется с помощью скалярного произведения W = (a, AB)       ~ = (a, r2 − r1 ) . Рассмот-
рим теперь кусочно гладкую параметризованную кривую Γ : r = r(t) , a ≤ t ≤ b
и разобьем ее на n малых дуг точками r(tα ) , отвечающими значениям парамет-
ра a = t◦ < t1 < · · · < tn = b . Рассмотрим векторы-хорды 4rα = rα − rα−1 ,
(α = 1, . . . n) и векторы aα = a(ξα ) , равные значению поля в произвольно выбран-
ной точке ξα ∈ [tα−1 , tα ] . Тогда элементарная работа вектора aα на отрезкеP[rα , rα−1 ]
                                                                                n
выражается числом Wα = (aα , 4rα ) , а на всей ломаной числом Wn =              α=1 Wα .
Переходя к пределу при n → ∞ , когда max|4rα | → 0 , получим криволинейный
интеграл                                 Z         Z
                              W (Γ) =       (a, dr) =        ai dui .                (44)
                                        Γ                Γ
Например, в прямоугольных координатах общепринятых обозначениях a = (P, Q, R)
                                Z
                        W (Γ) = P dx + Qdy + Rdz .
                                        Γ

  Интеграл (44) называется работой поля a вдоль кривой Γ . Если учесть, что
u = ui (t) , то дело сведется к вычислению интеграла Римана
 i

                                        Z b
                                W (Γ) =     (a(t), r0 (t))dt .
                                            a
При вычислении работы следует учитывать, что:
1) При изменении направления параметризации кривой работа изменяет свой знак
на противоположный: W (−Γ) = −W (Γ) ;
2) При разбиении кривой Γ = Γ1 + Γ2 W (Γ1 + Γ2 ) = W (Γ1 ) + W (Γ2 ) ;
3) Работа поля не зависит от параметризации кривой.
  Пример. Вычислим работу поля a = (−y, x, 0) , заданного в прямоугольных ко-
ординатах, вдоль одного витка винтовой линии r = Re(t) + btk , 0 ≤ t ≤ 2π . Вдоль
нее поле имеет компоненты a = (−R sin t, R cos t, 0) , то есть a = Rg(t) . С другой
стороны, r0 = Rg(t) + bk , так что (a, r0 ) = R2 . Интегрируя, получим W (Γ) = 2πR2 .
  Определение. Работа векторного поля вдоль замкнутой кривой C (по контуру)
называется циркуляцией                       I
                                   W (C) =          (a, dr).                         (45)
                                                C
  С помощью циркуляции можно дать следующую характеристику потенциальным
векторным полям. Пусть область задания поля односвязна.
Теорема 14. Векторное поле в односвязной области потенциально тогда и только
тогда, когда его циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю.