Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 110 стр.

24

Он называется потоком векторного поля через область K . Если поверхность за-
мкнута, то вектор нормали направляют обычно во внешнюю сторону.
  Имеют место следующие свойства потока:
1) Изменение ориентации области (K → −K) равносильно изменению направлению
вектора m . Поэтому поток изменяет свой знак на противоположный;
2) Если K = K1 + K2 есть разбиение области, то Q(K1 + K2 ) = Q(K1 ) + Q(K2 ) ;
3) Поток не зависит от выбора параметризации поверхности.
  В прямоугольных координатах формула (46) упрощается. Рассмотрим направля-
ющие косинусы нормали m = (cos α, cos β, cos γ) . Тогда
                         Z Z
                     Q=       (P cos α + Q cos β + R cos γ)dσ .
                              K

Если принять во внимание, что dσ cos α = dydz, dσ cos β = dzdx,      dσ cos γ = dxdy ,
то поток запишется в следующем виде
                           Z Z
                       Q=       P dydz + Qdzdx + Rdxdy .
                                  K

  Пример. Подсчитаем в прямоугольных координатах поток поля a = r радиусов-
векторов через полную поверхность кругового цилиндра радиуса R и высоты h .
Пусть ось цилиндра совпадает с осью Z и 0 ≤ z ≤ h . Разобьем поверхность на три
области: нижнее и верхнее основания K1 , K2 и на боковую поверхность K3 .
  1) На нижнем основании, лежащем в плоскости XY , a = (x, y, 0) . Вектор нормали
m = −k . Поэтому (a, m) = 0 и Q1 = 0 .
  2) На
      R R верхнем основании r = (x, y, h) , m = k . Следовательно, (r, m) = h и
                    2
Q2 =     K3
            hdσ = πR h .
  3) Уравнение боковой поверхности r = Re(ϕ) + zk . Единичный вектор нормали
m = e(ϕ) . Поэтому (a, m) = (r, m) = R . Учитывая, что g11 = R2 , g12 = 0, g22 = 1 , и
                                                       R 2π R h
значит g = R2 имеем dσ = Rdϕdz . Следовательно, Q3 = 0 0 R2 dϕdz = 2πR2 h . В
итоге получим Q = 3πR2 h .

     26.3. Соленоидальные векторные поля.

  Напомним (лекция 24), что векторное поле называется соленоидальным, если его
дивергенция равна нулю.
Теорема 16. Векторное поле соленоидально тогда и только тогда, когда его поток
через любую замкнутую поверхность, ограничивающую односвязную область, равен
нулю.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость сразу следует из теоремы Гаусса-
Остроградского. Для того, чтобы доказать достаточность, рассмотрим некоторую
точку A в области определения поля и односвязную окрестность этой точки, огра-
ниченную поверхностью M (например, сферой). Рассмотрим формулу Гаусса-Остро-
градского и применим к ее правой части теорему о среднем значении. Получим
                           ZZ
                               (a, m)dσ = (Div a)B V ,
                                M

где B — некоторая точка из рассматриваемой окрестности. ¤