Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

14
соединяющей точки, может быть не только наименьшей, но и наибольшей, либо ре-
шение задачи может быть не единственным, если точки A, B сферы диаметрально
противоположны.
30.3. Геодезические на поверхностях вращения. Теорема Клеро.
Рассмотрим движение по инерции материальной точки единичной массы по по-
верхности вращения. Уравнение этой поверхности запишем в виде r(ϕ, z) = ρ(z)(e(ϕ)+
zk) . Здесь ϕ – угол вращения, ρ(z) > 0 – радиус параллели на высоте z . Система
криволинейных координат u
1
= ϕ, u
2
= z на поверхности ортогональная, матрица
метрического тензора имеет вид
(g
ij
) =
µ
ρ
2
0
0 ρ
2
z
+ 1
.
Поэтому кинетическая энергия точки равна T =
1
2
q
02
=
1
2
[ρ
2
˙ϕ
2
+ (ρ
2
z
+ 1) ˙z
2
] . Най-
дем уравнения геодезических. При отсутствии потенциальных сил уравнения Эйлера
имеют вид
d
dt
³
∂T
∂ ˙u
i
´
−
∂T
∂u
i
= 0.
Запишем эти уравнения подробнее. Иммеем
∂T
∂u
i
= (0, ρ ˙ϕ
2
+ρ
zz
˙z
2
),
³
∂T
∂ ˙u
i
´
= (ρ
2
˙ϕ, (ρ
2
z
+1) ˙z),
d
dt
³
∂T
∂ ˙u
i
´
= (
d
dt
(ρ
2
˙ϕ),
d
dt
((ρ
2
z
+1) ˙z)) .
Следовательно, уравнения движения точки имеют вид
d
dt
(ρ
2
˙ϕ) = 0,
d
dt
((ρ
2
z
+ 1) ˙z) − ρ ˙ϕ
2
− ρ
zz
˙z
2
= 0 .
Первое из них дает первый интеграл ρ
2
˙ϕ = const . Выясним его геометрический
смысл. Обозначим через α угол между вектором скорости
˙
r движущейся точки и
касательным вектором к меридиану r
z
. Положим v = |
˙
r|. Тогда в силу ортогональ-
ности координатной сети
sin α = cos(
π
2
− α) =
(
˙
r, r
ϕ
)
|
˙
r||r
ϕ
|
=
g
11
˙ϕ
v
√
g
11
=
ρ ˙ϕ
v
,
откуда ρ ˙ϕ = v sin α . Так как ρ
2
˙ϕ = const , то ρv sin α = const , а поскольку T =
1
2
v
2
= const является интегралом консервативной системы, то скорость движения
точки v = const и, следовательно, мы приходим к выводу
Теорема Клеро. При движении точки по поверхности вращения произведение
ее расстояния до оси вращения на синус угла между касательной и меридианом
есть величина постоянная
ρ sin α = const.
Этот результат дает возможность дать качественное поведение геодезических путей
на поверхностях вращения. Так как |sin α| ≤ 1 , то ρ ≥ ρ
0
sin α
0
. При этом на-
клон орбиты к меридиану увеличивается при уменьшении радиуса ρ и достигнув
наименьшего значения ρ = ρ
0
sin α
0
, орбита возвращается в область с большим зна-
чением ρ . Разумеется, чтобы получить более точное поведение геодезических, надо
проинтегрировать еще второе уравнение – это ОДУ второго порядка.
Пример. На прямом круговом цилиндре ρ = const и мы получаем sin α = const .
Это винтовые линии.
14

соединяющей точки, может быть не только наименьшей, но и наибольшей, либо ре-
шение задачи может быть не единственным, если точки A, B сферы диаметрально
противоположны.
     30.3. Геодезические на поверхностях вращения. Теорема Клеро.
  Рассмотрим движение по инерции материальной точки единичной массы по по-
верхности вращения. Уравнение этой поверхности запишем в виде r(ϕ, z) = ρ(z)(e(ϕ)+
zk) . Здесь ϕ – угол вращения, ρ(z) > 0 – радиус параллели на высоте z . Система
криволинейных координат u1 = ϕ, u2 = z на поверхности ортогональная, матрица
метрического тензора имеет вид
                                      µ 2        ¶
                                       ρ 0
                             (gij ) =              .
                                       0 ρ2z + 1
Поэтому кинетическая энергия точки равна T = 12 q 02 = 21 [ρ2 ϕ̇2 + (ρ2z + 1)ż 2 ] . Най-
дем уравнения геодезических. При отсутствии потенциальных сил уравнения Эйлера
имеют вид
                                           d ³ ∂T ´ ∂T
                                                        − i = 0.
                                           dt ∂ u̇i         ∂u
Запишем эти уравнения подробнее. Иммеем
∂T                              ³ ∂T ´                             d ³ ∂T ´        d 2        d
               2         2                    2       2
    = (0, ρ ϕ̇   +ρzz ż   ),           =  (ρ   ϕ̇, (ρz +1)  ż),            =   (    (ρ ϕ̇),   ((ρ2 +1)ż)) .
∂ui                               ∂ u̇i                            dt ∂ u̇i        dt         dt z
Следовательно, уравнения движения точки имеют вид
                           d 2               d
                              (ρ ϕ̇) = 0,        ((ρ2 + 1)ż) − ρϕ̇2 − ρzz ż 2 = 0 .
                          dt                dt z
Первое из них дает первый интеграл ρ2 ϕ̇ = const . Выясним его геометрический
смысл. Обозначим через α угол между вектором скорости ṙ движущейся точки и
касательным вектором к меридиану rz . Положим v = |ṙ| . Тогда в силу ортогональ-
ности координатной сети
                                          π             (ṙ, rϕ )    g11 ϕ̇    ρϕ̇
                            sin α = cos( − α) =                   = √       =       ,
                                          2             |ṙ||rϕ |   v g11       v
откуда ρϕ̇ = v sin α . Так как ρ2 ϕ̇ = const , то ρv sin α = const , а поскольку T =
1 2
2
  v = const является интегралом консервативной системы, то скорость движения
точки v = const и, следовательно, мы приходим к выводу
   Теорема Клеро. При движении точки по поверхности вращения произведение
ее расстояния до оси вращения на синус угла между касательной и меридианом
есть величина постоянная
                                    ρ sin α = const.
Этот результат дает возможность дать качественное поведение геодезических путей
на поверхностях вращения. Так как | sin α| ≤ 1 , то ρ ≥ ρ0 sin α0 . При этом на-
клон орбиты к меридиану увеличивается при уменьшении радиуса ρ и достигнув
наименьшего значения ρ = ρ0 sin α0 , орбита возвращается в область с большим зна-
чением ρ . Разумеется, чтобы получить более точное поведение геодезических, надо
проинтегрировать еще второе уравнение – это ОДУ второго порядка.
   Пример. На прямом круговом цилиндре ρ = const и мы получаем sin α = const .
Это винтовые линии.

Страницы