Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 128 стр.

16

                   dq i
скоростей q 0i =   dt
                                              1
                                 T (q, q 0 ) = aij (q)q 0i q 0j                      (20)
                                              2
и поэтому det(aij ) > 0 , а
                                      N ³
                                     X       ∂rσ ´
                              Fi =       Fσ , i = Fi (q, t)
                                     σ=1
                                             ∂q
— ковариантные компоненты обобщенной силы, которые явно зависят от времени.
Уравнения (19) называются уравнениями Лагранжа. Это система обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка. Задача состоит в том, чтобы при
заданных начальных условиях q i (0) = ai , q 0i (0) = bi найти решение q i = q i (t) урав-
нений (19) в многообразии M и тем самым найти движение системы.
  Уравнения Лагранжа были получены им в 1788 г. Вместе с тем были заложены и
основы аналитической механики. Сделаем два упрощающих предположения.
  Определение. Обобщенная сила называется       ³ ´потенциальной, если существует
                                                  ∂V
силовая функция V (q, t) такая, что Fi = − ∂q       i .
Если ввести функцию Лагранжа L(q, q , t) = T (q, q 0 ) − V (q, t) , то
                                      0

                              ∂L    ∂T               ∂L     ∂T
                                 i
                                   = i + Fi ,           0i
                                                           = 0i
                              ∂q    ∂q               ∂q     ∂q
и уравнения Лагранжа (19) сводятся к уравнениям Эйлера (лекция 29).
  Определение. Потенциальная механическая система называется консерватив-
ной, если ее силовая функция V (q) не зависит от времени.
Теорема 9. Пусть механическая система консервативна. Тогда полная энергия E =
T + V системы постоянна вдоль интегральных путей уравнений Лагранжа (т.е. яв-
ляется первым интегралом движения).
  Это значит, что пути q i = q i (t) , изображающие движение системы, принадлежат
гиперповерхностям E = const .
  Уравнения Эйлера, как мы видели, получены на основе вариационного принципа
с помощью некоторого лагранжиана. Оказывается, решения уравнений Лагранжа в
случае консервативной системы представляют собой геодезические пути некоторого
риманова многообразия. Справедлива следующая
Теорема 10. Интегральные линии консервативной системы являются геодезически-
ми путями риманова многообразия с метрикой
                              ds2 = 2(E − T )aij (q)dq i dq j .
  Как обстоит дело в общем случае, когда система не консервативна? Рассмотрим
механическую систему с потенциальной обобщенной силой, лагранжиан L(q, q 0 ) и
функционал (лекция 29)
                                 Z 1
                          J(γ) =     L(q i (t), q 0i (t))dt .
                                         0
Гамильтон в 1835 г. вместо принципа Даламбера положил в основу аналитической
механики с самого начала вариационный принцип:
  Принцип Гамильтона. Для пути γ действительного движения системы с
лагранжианом L(q, q 0 ) вариация функционала δJ = 0 .