Расчет основных характеристик сенсорных устройств. Шаров М.К - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
yxaxaxaxaxaaxax
j
j
j
n
()......==+++=+++
=
∑
0
0
1
1
2
2
01
0
2
2
Для нахождения коэффициентов a
j
необходимо решить так называемую
нормальную систему метода наименьших квадратов:
xayx
i
jk
i
n
jii
k
i
n
j
m
+
===
∑∑∑
=
000
где k = 0,1,...,m
n - число узлов на графике, минус 1.
Эта система представляет собой систему линейных уравнений
относительно коэффициентов a
j
.
Пример 1. Пусть необходимо построить линейную регрессию , тогда:
y(x) = a
0
+ a
1
x; k = 0,1; j = 0,1;
Нормальная система примет вид:
()naxay
i
i
n
i
i
n
++
=
==
∑∑
1
0
0
1
0
xaxayx
i
i
n
i
i
n
ii
i
n
===
∑∑∑
+
=
0
0
2
0
1
0
Пример 2. Пусть необходимо построить квадратичную регрессию , тогда:
y(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
; k = 0, 1, 2; j = 0, 1, 2.
Нормальная система примет вид:
()naxaxay
i
i
n
i
i
n
i
i
n
++
+
=
===
∑∑∑
1
0
0
1
2
0
2
0
xaxaxayx
i
i
n
i
i
n
i
i
n
ii
i
n
====
∑∑∑∑
+
+
=
0
0
2
0
1
3
0
2
0
xaxaxayx
i
i
n
i
i
n
i
i
n
ii
i
n
2
0
0
3
0
1
4
0
2
2
0====
∑∑∑∑
+
+
=
Для решения полученных систем линейных уравнений относительно
коэффициентов a
j
можно применить метод Крамера. Обозначим множители
перед коэффициентами как элементы определителя A, а суммы после знака
равенства как элементы вектора B, тогда нормальная система примет вид: 
                                                   6
                 n
       y ( x ) = ∑ a j x j = a0 x 0 + a1 x 1 + a2 x 2 +... = a0 + a1 x + a 2 x 2 +...
                j =0

      Д лян ах о ж ден ияко эффициен то в aj н ео бх о дим о реш ить так н азываем ую
н о рм альн ую систем у м ето да н аим ен ьш их квадрато в:
        m   n j+ k        n
       ∑  ∑ i  j ∑ yi xik
                x   a =
       j =0 i =0          i =0

      гдеk = 0,1,...,m
            n - число узло в н а графике, м ин ус 1.
      Э та систем а представляет со бо й                     систем у       лин ей н ых   уравн ен ий
о тн о сительн о ко эффициен то вaj.
       П рим ер 1. П устьн ео бх о дим о по стро итьлин ей н ую регрессию, то гда:
      y(x) = a0 + a1x; k = 0,1; j = 0,1;
      Н о рм альн аясистем а прим ет вид:
                    n           n
      ( n + 1) a0 + ∑ xi a1 = ∑ yi
                     i =0     i =0

       n           n 2         n
       ∑ i  0 ∑ i  1 ∑ yi xi
             x  a +       x  a =
        i =0       i =0      i =0

      П рим ер 2. П устьн ео бх о дим о по стро итьквадратичн ую регрессию, то гда:
      y(x) = a0 + a1x + a2x 2 ; k = 0, 1, 2; j = 0, 1, 2.
      Н о рм альн аясистем а прим ет вид:
                    n          n 2        n
      ( n + 1) a0 + ∑ xi a1 + ∑ xi a2 = ∑ yi
                    i = 0     i = 0     i =0

       n           n 2        n 3         n
       ∑ i  0 ∑ i  1 ∑ i  2 ∑ yi xi
             x  a +       x  a +       x  a =
       i = 0      i = 0      i = 0      i =0

        n 2       n 3        n 4       n
       ∑ xi a0 + ∑ xi  a1 + ∑ xi a2 = ∑ yi xi
                                                  2

       i = 0     i = 0      i = 0     i=0

      Д ля реш ен ия по лучен н ых систем лин ей н ых уравн ен ий о тн о сительн о
ко эффициен то в aj м о ж н о прим ен ить м ето д Крам ера. О бо зн ачим м н о ж ители
перед ко эффициен там и как элем ен ты о пределителяA, а сум м ы по сле зн ака
равен ства как элем ен ты векто ра B, то гда н о рм альн аясистем а прим ет вид:

Страницы