Обработка экспериментальных данных и построение эмпирических формул. Курс лекций. Шашков В.Б. - 11 стр.

     2 Лекция 2. Точность и погрешности вычислений, способы
их оценки и уменьшения погрешностей

     2.1 Понятие приближенного числа и погрешности

       Анализ точности результата вычислений является важной составной
частью вычислительного процесса. В свое время Гаусс отмечал: “Недостатки
математического образования с наибольшей отчетливостью проявляются в
чрезмерной точности численных расчетов.” Реальная оценка практически
достижимого уровня точности способствует не только экономии сил и
средств, но часто связана с вопросами надежности достигнутых результатов
и безопасности их прикладного использования. Это тем более существенно
для процесса обработки экспериментальных данных, когда к обычным ис-
точникам ошибок входных величин и вычислений добавляется случайный
характер основной экспериментальной величины - опытного значения изу-
чаемой функции в виде отклика объекта исследования.
      Анализ точности результата вычислений осуществляется на основе по-
нятия погрешности. Пусть х1 -истинное значение некоторой величины, а xr
- то значение, которое мы присваиваем ей в ходе эксперимента или эксперт-
ной оценки. Перечисленным процессам всегда присущи некоторые неизбеж-
ные ошибки (даже если не брать во внимание факторы случайности - влия-
ние шума при определении отклика объекта исследования). Известно, на-
пример, что результат любого измерения в силу самой своей природы содер-
жит ошибку. Поэтому значение xr называют приближенным значением изу-
чаемой величины или просто приближенным числом.
      Абсолютная погрешность ∆x любого приближенного числа есть аб-
солютная величина разности между истинным значением величины х1 и ее
данным приближенным значением xr, т.е. ∆x = x 1 − xr .
      Истинное значение величины часто неизвестно и поэтому под оценкой
абсолютной погрешности принимают установление неравенства вида

                          x1− xr ≤ ∆x       ,                         (1)
                                        p
   где ∆x p - предельная абсолютная погрешность.
       Понятие предельной абсолютной погрешности означает число, кото-
рое не меньшее любого возможного значения абсолютной погрешности
(причем при наименовании ∆x p термин “предельная” обычно опускают).
       Существует принятый характер записи приближенных чисел, при ко-
тором абсолютная погрешность равна половине единицы последнего разряда,
записываемого при обозначении данного числа. Это означает, что контекст
записанных чисел 3,14 и 3,1416 требует разной точности указанных вели-
чин, а именно 0,005 в первом и 0,00005 - во втором случае. Если же обозна-


                                                                       11