Прикладной регрессионный анализ. Многофакторная регрессия. Шашков В.Б. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

18
фессиональных соображений, либо, при отсутствии последних,- в порядке
альтернативы –нахождения для данной таблицы нескольких вариантов урав-
нений и сравнения их по точности воспризведения табличного значения
отклика у
g
.
Таблица экспериментальных данных и принятая в виде гипотезы фор-
ма уравнения регрессии являются основными отправными условиями задачи
и определяют последующий ход ее решения.
Процедура обработки экспериментальных данных начинается с совме-
щения принятой формы уравнения с таблицей, для чего в уравнение подстав-
ляют значения факторов х
gk
в соответствии со строками таблицы данных, где
g- номер строки таблицы, а k- номер вектора х . Это дает систему уравнений
соответственно количеству строк в таблице экспериментальных данных.
Рассмотрим изложенное на конкретном примере. Пусть мы имеем таб-
лицу данных с двумя факторами х при числе строк п=7, которую мы хотим
отразить уравнением
bbxbxb xxbx b x y
01
1
2
2
12
12
11
1
2
22
2
2
+⋅+⋅+ ⋅⋅ + ⋅ + ⋅ =. (8)
Отметим, что левая часть полинома алгебраически представляет собой
произведение двух векторов:
- вектора коэффициентов
b;
- вектора множителей при этих коэффициентах
 1 х1 х2 х1*х2 х1
2
х2
2
,
который носит название вектора базисных функций.
Если индексами при коэффициентах
b будем обозначать комбинацию
базисных функций, а индексами при факторах
х – номер строки таблицы, то в
алгебраическом виде система уравнений будет следующей:
b
0
+ b
1
х1
1
+ b
2
х2
1
+ b
12
х1
1
х2
1
+ b
11
х1
1
х1
1
+ b
22
х2
1
х2
1
= у
1
;
b
0
+ b
1
х1
2
+ b
2
х2
2
+ b
12
х1
2
х2
2
+ b
11
х1
2
х1
2
+ b
22
х2
2
х2
2
= у
2
;
b
0
+ b
1
х1
3
+ b
2
х2
3
+ b
12
х1
3
х2
3
+ b
11
х1
3
х1
3
+ b
22
х2
3
х2
3
= у
3
;
b
0
+ b
1
х1
4
+ b
2
х2
4
+ b
12
х1
4
х2
4
+ b
11
х1
4
х1
4
+ b
22
х2
4
х2
4
= у
4
; , (9)
b
0
+ b
1
х1
5
+ b
2
х2
5
+ b
12
х1
5
х2
5
+ b
11
х1
5
х1
5
+ b
22
х2
5
х2
5
= у
5
;
b
0
+ b
1
х1
6
+ b
2
х2
6
+ b
12
х1
6
х2
6
+ b
11
х1
6
х1
6
+ b
22
х2
6
х2
6
= у
6
;
b
0
+ b
1
х1
7
+ b
2
х2
7
+ b
12
х1
7
х2
7
+ b
11
х1
7
х1
7
+ b
22
х2
7
х2
7
= у
7
;
Однако, как отмечалось ранее, при воздействии на объект исследова-
ния факторами
х, наличие и значение которых определяется самим экспери-
ментатором, значение отклика
у
g
формируется как за счет факторов х, так и
за счет факторов
w по уравнению (1).
Представим себе, что мы многократно повторяем наблюдение, задавая
значение факторов
x1
g
, x2
g
, . . . . . xк
g
для одной и той же g-ой строки таб-
лицы экспериментальных данных. Значения откликов при этом в силу нали-
чия шума в целом будет разными, т.е. значение случайной ошибки наблюде-
фессиональных соображений, либо, при отсутствии последних,- в порядке
альтернативы –нахождения для данной таблицы нескольких вариантов урав-
нений и сравнения их по точности воспризведения табличного значения
отклика уg.
      Таблица экспериментальных данных и принятая в виде гипотезы фор-
ма уравнения регрессии являются основными отправными условиями задачи
и определяют последующий ход ее решения.
      Процедура обработки экспериментальных данных начинается с совме-
щения принятой формы уравнения с таблицей, для чего в уравнение подстав-
ляют значения факторов хgk в соответствии со строками таблицы данных, где
g- номер строки таблицы, а k- номер вектора х . Это дает систему уравнений
соответственно количеству строк в таблице экспериментальных данных.
      Рассмотрим изложенное на конкретном примере. Пусть мы имеем таб-
лицу данных с двумя факторами х при числе строк п=7, которую мы хотим
отразить уравнением
          b0 + b1 ⋅ x 1 + b2 ⋅ x 2 + b12 ⋅ x 1 ⋅ x 2 + b11 ⋅ x 12 + b22 ⋅ x 2 2 = y . (8)

      Отметим, что левая часть полинома алгебраически представляет собой
произведение двух векторов:
     - вектора коэффициентов b;
     - вектора множителей при этих коэффициентах
                  1     х1     х2   х1*х2      х12   х22 ,
который носит название вектора базисных функций.
     Если индексами при коэффициентах b будем обозначать комбинацию
базисных функций, а индексами при факторах х – номер строки таблицы, то в
алгебраическом виде система уравнений будет следующей:

  b0 + b1х11 + b2х21   +   b12х11х21   + b11х11х11   +   b22х21 х21   =   у1;   
  b0 + b1х12 + b2х22   +   b12х12х22   + b11х12х12   +   b22х22 х22   =   у2;   
  b0 + b1х13 + b2х23   +   b12х13х23   + b11х13х13   +   b22х23 х23   =   у3;    
  b0 + b1х14 + b2х24   +   b12х14х24   + b11х14х14   +   b22х24 х24   =   у4;    ,   (9)
  b0 + b1х15 + b2х25   +   b12х15х25   + b11х15х15   +   b22х25 х25   =   у5;   
  b0 + b1х16 + b2х26   +   b12х16х26   + b11х16х16   +   b22х26 х26   =   у6;   
  b0 + b1х17 + b2х27   +   b12х17х27   + b11х17х17   +   b22х27 х27   =   у7;   

      Однако, как отмечалось ранее, при воздействии на объект исследова-
ния факторами х, наличие и значение которых определяется самим экспери-
ментатором, значение отклика уg формируется как за счет факторов х, так и
за счет факторов w по уравнению (1).
      Представим себе, что мы многократно повторяем наблюдение, задавая
значение факторов x1g , x2g , . . . . . xкg для одной и той же g-ой строки таб-
лицы экспериментальных данных. Значения откликов при этом в силу нали-
чия шума в целом будет разными, т.е. значение случайной ошибки наблюде-

18

Страницы